艾滋病数学模型

摘要

本题是一个艾滋病疗法评价和疗效预测的优化问题.首先对附录中的大量数据进行统计分析，拟合了CD4浓度、HIV浓度随时间变化的二项式拟合曲线.问题一，通过建立比例函数模型，拟合出比例函数二次曲线，并利用微分求导，得出了最佳治疗终止时间t0=30.0444周；

问题二，为预测最佳治疗效果，或者确定最佳治疗终止时间，主要采用拟合的方法.因附件2给的数据是一组实际值，有必要对数据进行弥补缺失数值及剔除异常数值的处理.在经过处理的数据中，对年龄从整体上进行分类（30岁以下，30——45岁，45岁以上），再在每个年龄类中依疗法的不同又分为4类，以四周为周期通过Matlab对已知散点进行拟合，计算出所抽出的样本的CD4含量与HIV含量.再在同一年龄类水平上把这些值拟合成随时间变化的4条曲线，30岁以下最佳治疗方案1，4疗法，30——45岁最佳治疗方案2，3疗法，45岁以上最佳治疗方案4，且建议30周后继续治疗。

问题三，在第二问的基础上考虑病人的经济承受能力，建立了以疗效最大，花费最少的双目标规划模型，利用偏好系数将双目标规划化为单目标规划，得出在治疗期内的最佳治疗方案. 30岁以下用第1种疗法40周；30——45岁用1种疗法15周，用2种疗法14周，用3种疗法11周；45岁以上用1种疗法40周.

关键字：最小二乘法 偏好系数 双目标规划 艾滋病 药效分析

一、问题的提出

1.背景

艾滋病(获得性免疫缺损综合症,英文简称AIDS)是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命. 它是由艾滋病毒（人体免疫缺损病毒,英文简称HIV）引起的.这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命.人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作.迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高.许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法.

艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力.

2.问题

现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据. ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）.193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）.4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）. 试解决以下问题：

（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）.

（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间.

(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85

美元，400 mg nevirapine 1.20美元.如果病人需要考虑4种疗法的费用，对 （2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变.

二、问题假设、名词约定及符号的说明

1：基本假设（assumption）

（1）药效只与患者体内的CD4浓度、HIV浓度有关；在检测期间，病人无影响健康状况的事件发生；

（2）病人的年龄对疗效无影响；

（3）各种药物数量充足，能够满足测试终止后对部分病人继续治疗的要求； （4）病人的经济状况服从正态分布；

（5）本文测试者所得到的规律能代表该疗法的疗效；

（6）假设所有的病人都是在题目中的时刻0 开始服药并且不存在服药失误之类的事情发生病人都每天按时服药。 2:符号说明： t 时间

y(t) 问题2 ，3中，第t周测得的CD4含量 T 测试期总时长 S 疗法每日所需费用 K 全国人均收入

K0 全国最低生活保证金平均水平

Yij 第i类人第j种疗法测得的CD4含量，i=1,2,3;j=1,2,3,4 3.名词约定

（1）疗法：不同药物的组合测试方案，具体如问题中各种药物的搭配服用方案； （2）疗效：患者体内的CD4浓度或HIV浓度大小，以CD4与HIV浓度的比值

作为量纲；

（3）最佳治疗终止时间：患者体内的CD4与HIV浓度比取极大值所对应的时

刻。比如，当CD4与HIV浓度的比值所对应时刻小于极大值所对应的时刻时，可认为药效明显，应继续服用；当CD4与HIV浓度的比值所对应时刻大于极大值所对应的时刻时，则认为服药效果不好，应选择终止治疗； （4）测试终止时间：患者测试终止时所对应的时刻；

（5）典型患者：多名普通患者在相同时期内的CD4与HIV浓度分别取平均值，

抽象为一个患者在不同时刻对应的CD4与HIV的浓度值，此患者系多名患者健康状况的代表。

三、问题的分析与模型的准备

1.基本思路