因为点在边而所以所以所以
，
上，所以，
只能为钝角，
，
．
18. 现有4名学生参加演讲比赛，有两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质
地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择题目，掷出其他的数则选择题目.
（1）求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率； （2）用数学期望
分别表示这4个人中选择.
题目的人数，记
，求随机变量的分布列与
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）本题为二项分布模型，由题可知，选择题目的概率为，选择题目的概率为，则
，所以这4人中恰有一人选择题目的概率为
；（2）的所有可能取值为0，3，4，
，
试题解析：
由题意知，这4个人中每个人选择题目的概率为，选择题目的概率为， 记“这4个人中恰有人选择题目”为事件∴
，
.
，
，写出分布列，并求期望。
（1）这4人中恰有一人选择题目的概率为（2）的所有可能取值为0，3，4，且
，
∴的分布列是
.
，
所以
19. 如图1，在矩形交
于点，
交
中，于.现将
. ，沿
，点
分别在边
上，且平面
，
，
折起，使得平面，得到图2.
图1 图2
（1）在图2中，求证：（2）在图2中，若点是线段值为.
【答案】（1）证明见解析；（2）点在线段【解析】试题分析：(1)先证明
;
(2)建立直角坐标系,设式,结合二面角
,求出平面
、平面
的一个法向量,利用向量的夹角公
的四等分点.
,证明
平面
,从而可得
；
上的一动点，问点在什么位置时，二面角
的余弦
,再证明
的余弦值为,即可得出结论.
中，， ∴
，平面， ∴且
. ，平面
， ，∴四边形
为平行四边形. 平面
， 即
,
.
,
试题解析：（Ⅰ）∵在矩形∴
∴在图2中，又∵平面∴
平面
∥
依题意，
∴∴
∥, ∴平面
， 又∵
， 又∵
中，，∴
平面
， ， ∴，.
. ，
（Ⅱ）如图1，在∵
∥
，
如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则
，
∴∵∴设设
，，∴为平面，则为平面
，，，
，
，
平面，
的法向量.
，
的法向量，则
即，可取，
依题意，有，
整理得∴当点在线段
，即的四等分点且
，∴，
时，满足题意．
20. 已知椭圆
的两个端点的连线相互垂直. （1）求椭圆的方程； （2）过点求证：
的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴
的直线与椭圆相交于为定值.
两点，设点，记直线的斜率分别为，
【答案】（1）；（2）证明见解析.
，
，所以，
，写出椭圆方程；（2）联，
【解析】试题分析：（1）由题意得到立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理
.
试题解析： （1）依题意，∵点∴∴
.
. ，
.
与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ，
∴椭圆的方程为
（2）①当直线的斜率不存在时，由解得，.
设，，则为定值.
.
.
，
，
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：将
代入
整理化简，得
依题意，直线与椭圆必相交于两点，设
则，.
又，，
所以
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