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全国2010年10月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题 课程代码：04184
说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=( ) A.-8 B.-2 C.2
D.8
2.设矩阵A=??1????1???,B=(1,1),则AB=( )
A.0 B.(1,-1) C. ??1?D. ??11????1???
???1?1???
3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA
4.设矩阵A的伴随矩阵A*=??12??-1
?34???
,则A= ( )
A.?1 ??4?3???1?1?2?1?12?2??21?? B. ?2 ?????34?? C. ?2 ???34??? D. ?1??42?2 ?31???? 5.下列矩阵中不是．．
初等矩阵的是( ) ??A.?101?
?010?
?001?
??100??? B. ??010?? C. ?030?? D. ?100?
?000????100????010??001???? ?201??
6.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有( )
A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )
A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示
C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一
8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( A.0 B.1 C.2
D.3
?2x1?x2?x3?09.设齐次线性方程组??x1?x2?x3?0有非零解,则?为( )
???x1?x2?x3?0A.-1 B.0 C.1
D.2
10.设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结论中正确的是( )
A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
) 2 / 19
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式
0112的值为_________.
?12?12.已知A=??23??,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.
???11??1?3?3
??13.设矩阵A=?,P=?01??,则AP=_________. ??24?????14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_________.
15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.
?1??3?????2???5?16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且?1???,?1??3???,则该线性方程组的通解是
37?????4??9?????_________.
?1??1?????17.已知P是3阶正交矩,向量???3?,???0?,则内积(P?,P?)?_________.
?2??2?????18.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.
?12?19.与矩阵A=??03??相似的对角矩阵为_________.
???1?2?T
20.设矩阵A=???2k??,若二次型f=xAx正定,则实数k的取值范围是_________.
??三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)
01201012的值. 21.求行列式D=
21010210?0?10???1?20?????22.设矩阵A=?100?,B??2?10?,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.
?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量组?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩为2,求k的值.
?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.设矩阵A??1?10?,b??1?.
??121??0????? 3 / 19
(1)求A-1;
(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出. 25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求 (1)矩阵A的行列式及A的秩.
(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.
?x1?2y1?2y2?y3?26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换?x2?2y1?2y2?y3所得的标准形.
?x?2y3?3四、证明题(本题6分)
27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是?1.
全国2010年7月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；r(A)表示矩阵A的秩；| A |表示A的行列式；E表示单
位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12
3 0 ?2 0 2 10 5 02.计算行列式=( )
0 0 ?2 0?2 3 ?2 3A.-180 B.-120 C.120 D.180 3.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=( ) A.
1 B.2 C.4 D.8 24.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示
B.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示
5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( )
A.A与B相似 B.| A |=| B | C.A与B等价 D.A与B合同 7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( )
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A.0 B.2 C.3 D.24 8.若A、B相似，则下列说法错误的是( ) ．．
A.A与B等价 B.A与B合同 C.| A |=| B | D.A与B有相同特征值 9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则( )
A.A正定 B.A半正定 C.A负定 D.A半负定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
?3 ?2????2 1 ?1?11.设A=?0 1?,B=??，则AB=_________________.
0 ?1 0???2 4???12.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A-1 |=______________. 13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.
14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.
15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________. 16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，
1，1，则| 5A-1 |=______________. 217.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.
? 2 ?1 0???18.实对称矩阵??1 0 1 ?所对应的二次型f (x1, x2, x3)=________________.
? 0 1 1????1???1?????19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=?2?，α2=? 2?且r(A)=2，则Ax=b的通解是_______________.
?3?? 3??????1???20.设α=?2?，则A=ααT的非零特征值是_______________.
?3???三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 21.计算5阶行列式D=
0 0 2 0 0 1 0 0 0 2?2 0 0??1 0 0??1 ?4 3???????22.设矩阵X满足方程 ?0 ?1 0?X?0 0 1?=?2 0 ?1? 求X.
?0 0 2??0 1 0??1 ?2 0??????? 5 / 19
?x1?x2?3x3?x4?1?23.求非齐次线性方程组 ?3x1?x2?3x3?4x4?4的通.
?x?5x?9x?8x?0234?124.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.
? 2 ?1 2???25.已知A=? 5 a 3?的一个特征向量ξ =（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向
??1 b ?2???量.
??2 1 1 ?2???26.设A=? 1 ?2 1 a?，试确定a使r(A)=2.
? 1 1 ?2 2???四、证明题（本大题共1小题，6分）
27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.
全国2010年4月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184 一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.已知2阶行列式
a1b1a2b2=m ,
b1c1b2c2=n ,则
b1b2a1?c1a2?c2=（ ）
A.m-n B.n-m C.m+n D.-（m+n） 2.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（ ） A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA
3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（ ） A.-8 B.-2 C.2 D.8
?100??100??a11a12a13??a113a12a13????????????4.已知A=?a21a22a23?，B=?a213a22a23?，P=030，Q=310?，则B=（ ） ?????aaa??a3aa??????313233??313233??001??001?A.PA B.AP C.QA D.AQ 5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）
A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2 B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2 C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0 D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误的是（ ） ．．A.只含有一个零向量的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关
B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关
7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ）
A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出
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8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ ） A.小于m B.等于m C.小于n D.等于n 9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ ） A.AT B.A2 C.A-1 D.A*
22210.二次型f（x1,x2,x3）=x1?x2?x3?2x1x2的正惯性指数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式
2007200820092010的值为_________________________.
?1?13??20????,则ATB=____________________________. 12.设矩阵A=,B=??201??01?????13.设4维向量??（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向量γ满足2??γ=3β，则γ=__________. 14.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=?1,则|A-1|=___________________________. n15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________. 16.齐次线性方程组??x1?x2?x3?0的基础解系所含解向量的个数为________________.
2x?x?3x?03?12?1?1?17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵?A2?必有一个特征值为_____________.
?3????1?2?2???18.设矩阵A=??2x0?的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.
?????200??????a??119.已知A=??2??0???0?2??b0?是正交矩阵，则a+b=_______________________________。
??01???120.二次型f（x1, x2, x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________。
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
a21.计算行列式D=a2bb2b?b3cc2的值。 c?c3a?a3 7 / 19
22.已知矩阵B=（2，1，3），C=（1，2，3），求（1）A=BTC；（2）A2。
23.设向量组?1?(2,1,3,1)T,?2?(1,2,0,1)T,?3?(-1,1,-3,0)T,?4?(1,1,1,1)T,求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。
??1??24.已知矩阵A=?0??0??210???3???14???????（2）解矩阵方程AX=B。 2?，B=?25?.（1）求A-1；
???1?3??1????????x1?2x2?3x3?4??25.问a为何值时，线性方程组?2x2?ax3?2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个
??2x?2x?3x?623?1特解和导出组的基础解系表示全部解）。
??2?26.设矩阵A=?0???0?03a??0??1??a?的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使P-1AP=?0????3??0??020?0??0?。 ??5??四、证明题（本题6分）
27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1。
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全国2010年1月高等教育自学考试 《线性代数（经管类）》试题及答案
课程代码：04184
试题部分
说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
2x2y2z41.设行列式403?1,则行列式01?（ ）
3111111xyzA.
2 3B.1
C.2
8D. 32.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=（ ） A. A-1B-1C-1 C. C-1A-1B-1
B. C-1B-1A-1 D. A-1C-1B-1
3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（ ） A.-32 C.4
B.-4 D.32
4.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关
B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 D. α1，α2，α3一定线性无关
5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 C.3
B.2 D.4
6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（ ）
A.1 C.3
B.2 D.4
7.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m≥n C.r（A）=m
B.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解 D.Ax=0存在基础解系
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?4?52??5?738.设矩阵A=???，则以下向量中是A的特征向量的是（ ）
??6?94??A.（1，1，1）T C.（1，1，0）T
B.（1，1，3）T D.（1，0，-3）T
3 =
?1?11??9.设矩阵A=??13?1?的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ
（ ）
??111??A.4 B.5 C.6
D.7
10.三元二次型f （x1，x2，x3）=x2?4x221?4x1x2?6x1x32?12x2x3?9x3的矩阵为（ ?123?143?A.???246?? B.???046??369???? ?369????123?C.?126??246?? D.???240??069???? ?3129??
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
12311.行列式459=_________.
6713??5200?12.设A=?2100???021?，则A-1=_________. ?0?0011??13.设方阵A满足A3-2A+E=0，则（A2-2E）-1=_________. 14.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.
15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________. 16.设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________. ?a11??x1??17.设线性方程组??1a1????x??1??2????1?有无穷多个解，则a=_________.
??11a????x3????2??18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.
19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.
） 10 / 19
2220.二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的秩为_________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
234534564567567821．计算4阶行列式D=.
?2?31??-1
4?5222.设A=?，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A. ????5?73??23.设向量α=（3，2），求（αTα）101.
24.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）. （1）求该向量组的一个极大线性无关组；
（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合. ?x1?x2?2x4?0?25.求齐次线性方程组?4x1?x2?x3?x4?0的基础解系及其通解.
?3x?x?x?0123??32?2???26.设矩阵A=?0?10?，求可逆方阵P，使P-1AP为对角矩阵.
??42?3??
四、证明题（本大题6分）
27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.
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答案部分
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第25—27题 答案暂缺
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2010年4月自考线性代数（经管类）历年试卷参考答案
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2010年10月全国自考线性代数（经管类）参考答案
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