第4讲
数列求和 三大方法
满分晋级
数列5级 求数列通项方法
数列4级
数列求和三大方法
汇总
数列3级 等比数列深入
知识切片
<教师备案>数列的形式多样，除了较简单的等差和等比数列外，还有很多其它各种数列，求和方法也
相对灵活多样，本讲讨论主要的几种数列求和方法．
考点1： 分组求和
知识点睛
有些数列，直接求和不易进行，可以将便于求和的项放在一起进行分组求和． 如①有些数列可以对奇偶项分别求和，此时要注意项数分奇偶讨论； ②有些数列可以将每一项适当拆开，再进行分组；
③有些数列首尾项相加后为定值，可以用倒序相加的方法．
<教师备案>分组求和：如果对数列?an?求前n项和时，an本身恰好是若干比较简单的通项的组合，
那么就可以将之转化为求几个更简单的数列（一般是等差或等比数列）的和，这种方法称为分组求和．
除了将复杂的通项拆成简单的通项以外，分组求和还有另外一种形式（准确点说应该叫“分
项求和”）：如果an的通项是分段表示的，那么计算Sn时可以根据an的通项形式，将类似的项进行组合，例如：
?n，n?2k?1(k?N*)，则Sn?(a1?a3?a5?L)?(a2?a4?a6?L) 若an??n?2，n?2k这时候必须要对Sn中n的取值分奇偶情形讨论．如例1⑴即为直接拆分，例1⑵需要分类讨论和局部分组求和，例1⑶即为奇偶分组，例1⑷讨论奇偶项；例2是倒序相加求和．
经典精讲
【铺垫】求下列数列的前n项和
1111⑴1，2，3，4，L；
248161?2，1?2?22，L，1?2?22?L?2n?1，L． ⑵1，⑶数列?an?的通项公式an?2n?5,bn?an,求?bn?的前n项和Tn．
【解析】 ⑴
Sn?n?n?1?2?1?1 2n⑵
Sn?2n?1?n?2．
2??4n?n,n≤2⑶ Tn??2．
??n?4n?8,n≥3【点评】数列求和，首先考虑能否直接用等差、等比数列的求和公式求和；其次，考虑能否转化（拆
项、合并等）为等差、等比数列，再用公式求和．本题通过拆项、合并，构建出等差、等比数列，实现了由非特殊数列求和向特殊数列求和的转化．
【例1】 ⑴
⑵
111求数列的前n项和：1?1，?4，2?7，???，n?1?3n?2，…
aaaa3，a1成（目标班专用）已知等差数列?an?前三项的和为?3，前三项的积为8，且a2，等比数列，求数列?an?的前n项和． ⑶
111求数列1，，5，，9，???的前12项和．
248【追问】如果问的是前n项和该如何处理？从此问可以引出关于n为奇偶不同情况的讨论．
612，3L)，求此数列的前n项和Sn的公式． ⑷在数列?an?中，a1?，an?an?1?n?1(n?1，55【解析】 ⑴
(3n?1)n当a?1时，Sn＝
2a?a1?n(3n?1)n当a?1时，Sn＝ ?a?12n?1?4?⑵ Sn??3211
n?n?10n≥2??22⑶ 前12项和为67?1． 26n?1?2nn1??2???1???，n?2k?1，k?N??22?2?Sn??n 【追问】 ?n2n1??2???1???，n?2k，k?N?222???5n?1⑷ Sn= (n?N*)． n4?5【点评】 分组法求和有两种思路，一是根据数列分类再分别求和；二是根据奇偶分类．之所以对奇偶
分类也是两两分组必然会导致对总项数奇偶的讨论．
【拓展】已知函数f?n??n2cosnπ，且an?f?n??f?n?1?，则a1?a2?L?a100?_______
【解析】 ?100；
<教师备案> 倒序相加法：倒序相加可以看成特殊的分组求和，和一般的分组求和法区别只在于其分
组是确定的．倒序相加是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an)．若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和．此方法在函数中也有应用．
【例2】 ⑴
⑵⑶⑷
【解析】 ⑴
x2已知f?x??，求f?1??f?2??f?3??f?4??21?x?1??1?f???f????2??3?4x?1??2??1000?已知f?x??x，求f???f???L?f??；
1001100110014?2???????1?f??； ?4?求S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?；
已知x?0，y?0，lg?xy??a，求S?lgxn?lg(xn?1y)?lg(xn?2y2)?L?lgyn
7； 2⑵ 500；
89⑶ S?
21⑷ S?n(n?1)a．
2
考点2： 裂项相消法
知识点睛
如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有：
111①； ??n(n?1)nn?11②? ； n?n?k?③④1? ；
n?n?1??n?2?1n?n?1?n?1?n <教师备案>裂项相消是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每一项
（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．讲完①后结合铺垫让学生对②进行总结．然后可以讲例题3的⑵⑶，讲完以后可以让学生尝试③及例3⑷，从裂项中选出一个合适的，比如就不是很实用．
11?111?1??????n?n?1??n?2??nn?1?n?2n?n?2??n?1??n?2?经典精讲
【铺垫】求下列数列的前n项和
111⑴，，，L； 1?22?33?41111⑵，，，L，，L． 1?32?43?5n?n?2?【解析】 ⑴
n n?1311⑵ Sn??． ?42n?22n?4Sn?
【例3】 ⑴
⑵⑶
数列?an?的通项公式an?已知数列?an?：1，
1n?1?n，若它的前n项和为2，则项数n为 ．
111，，L，，…，求它的前n项和． 1?21?2?31?2?3?L?n（目标班专用）已知数列?an?为等差数列，首项a1?a，公差d?0，且an?0(n?N?)，
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