唐山一中2020届高二年级第二学期期中试题数学试卷(理科)
说明：
1．考试时间120分钟，满分150分。2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上。3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若?a?2i?i?b?i，其中A.1 B.2 C.
a,b?R，i为虚数单位，则a?i3b等于（ ）
5 D.5 22．从6名男生和2名女生中选出三名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有（ ） A.36种 B.30种 C.42种 D.60种
n?x1?3．在??2?3??的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）
x??A.-7 B.-5 C.7 D.5 4．已知：n?N则2?4n除以15的余数为（ ）
A.1 B. 3 C.4 D .2
1?x2??1?x?0?5．已知f(x)??，则?f?x?dx的值为（ ）
?1?1?0?x?1?A.
3424 B.? C.? D. 2333236．由曲线y?x,y?x围成的封闭图形的面积为（ ） A.
1117 B. C. D. 12431237．设a?R，若函数y?x?ax，x?R有大于零的极值点，则（ ） A.a?0 B.a?0 C.a?0 D. a?0
8．8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）
82828282A.A8?A9 B. A8?C9 C. A8?A7 D. A8?C7
9．i为虚数单位，若
a1?i?,则a的值为（ ） 1?iiA.i B.?i C.?2i D.2i
10．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B至少一件发生的概率是（ ） A.
5173 B. C. D. 12212411．如图，在一个长为?，宽为2的矩形OABC内，曲线y?sinx?0?x???与x轴所围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（ ）
12A. B.1? 2?21C. D.
3?yAB
O 12．已知f?1,1??1,f?m,n??Nm,n?N*Cx?*?，且对
任意
m,n?N*，都有：
①f?m,n?1??f?m,n??2 ②f?m?1,1??2f?m,1?
给出下列三个结论：
⑴f?1,5??9； ⑵f?5,1??16； ⑶f?5,6??26 其中正确结论的个数为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，
班级_____________ 考号______________ 2
遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是1 min.，则这名学生在上学路上因
5遇到红灯停留的总时间至多是3 min的概率是
14．设函数f?x??x?x，曲线y?f?x?在点?2,f?2??处的切线方程_________.
3215．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方
a2形重叠部分的面积恒为。类比到空间，有两个
4均为a的正方体，其中一个的顶点在另一个的中心，
棱长则这
两个正方体重叠部分的体积恒为_________________.
?1???的展开式中各项系数之和为128，则展开式中第七项为16．如果3x??2?3x??___________.
三．解答题：本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤。 17．（本小题满分10分） 在二项式(x?系数最大项。
18. （本小题满分12分）
已知定义在R上的函数f?x??ax?3x（a为常数）。
32n124x)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的二项式
（1） 若x?1是函数f?x?的一个极值点，求实数a的值； （2） 求函数f?x?的单调区间.
19. （本小题满分12分）
体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则“达标”；为节省测试时间，同时规定：①若投篮不到5次已达标，则停止投篮；②投篮过程中，若已有3次未中，则停止投篮．同学甲投篮命中率为，且每次投篮互不影响． (Ⅰ)求同学甲恰好投4次达标的概率； (Ⅱ)设同学甲投篮次数为X，求X的分布列.
23 20．（本小题满分12分）
设数列?an?的前n项和为Sn，且a1?（1）S1,S2,S3；
（2）猜想数列?Sn?的通项公式，并用数学归纳法证明。 21．（本小题满分12分）
1,2Sn?SnSn?1?1?n?2?，求： 21,若直线l与,t为常数）2f(x)的图象以及y轴所围成的封闭图形的面积是s1(t)，直线l与f(x)的图象所围成
1封闭图形的面积是s2(t)，设g(t)?s1(t)?s2(t)，当g(t)取最小值时，求t的值。
2
2已知二次函数f(x)?x?x，设直线l：y=t?t（其中0?t?2
22．（本小题满分12分）
设函数f(x)?lnx?（1）当a?b?12ax?bx. 21时，求f(x)的最大值； 212a（2）令F(x)?f(x)?ax?bx?，（0?x?3），其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的
2x1斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
22（3）当a?0，b??1，方程2mf(x)?x有唯一实数解，求正数m的值．
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