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高等流体力学
一、流体的运动用
??+?????????+???????????????
??=??,??=??+??,??=????? 2222表示，求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。
??
????
??????+??????????解：由题可知速度分量为：??==???????=z ????22
??=????=??????+??+??????????=??{????22
??+??????????????+??? =(0,????则速度的拉格朗日描述：?????,??222
??=
????
=0
+?????
?????2
)
? =(0,??,??) 速度的欧拉描述：??
? =(??2??,????2,????)给出，当??=1时求质点p(1,3,2)的速度及二、速度场由??
加速度。
解：
??=??2??
? =(??2??,????2,????)可得速度分量式为：{??=????2 由??
??=????? =(1,3,2)； 则当t=1时，质点??(1,3,2)的速度为：??
????=????+??????+??????+??????
????=??2+??2???2????+????2?0+?????0 ????????????????
加速度为????=????+??????+??????+??????={????=2????+??2???0+????2???2+?????0
????=0+??2?????+????2?0+??????? ??=????+??????+??????+??????
{??
????=1+2+0+0=3
={????=6+0+3+0=8，即加速度为：?? =(3,9,4)
????=0+2+0+2=4
????
????
????
????
????
????
????
????
? =(????+??2,???????2,0)给出，求速度及加速度的拉格朗日三、速度场由??
表示。
解：
22
??=????=????+?? ?????????=?? ????????222? 由题可得速度场??=(??,??,??)=(????+??,???????,0)，则由??==???????得?????????=???2，解微
???? ???? ??=????=0 =0{{????????
122
??=??1?????????2?2???3????
????
分方程得{??=????????+即为流体质点运动的拉格朗日表达式,其中??1,??2,??3为任意常数。 +2??+3，2????
??=??3 ????=2=??1??2???????
?????????? 2
则{??=????=???????????2???2，??=????=????2???????2 22????????2 ??????2??
??=??3????=0{
? =(??1?????????2???22,??2?????????2???22,??3) 得速度的拉格朗日表达式为：??????????
??=
=??1????????????????2
? =(??1??2???????,??2??2???????,0) 得加速度的拉格朗日表达式为：??????
标准
2
2
????
2
2
??2??
2
??
12????
??2??2
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四、已知质点的位置表示如下：
??=??,??=??+??(???2???1),??=??+??(???3???1)
求：（1）速度的欧拉表示；
（2）加速度的欧拉表示及拉格朗日表示，并分别求(??,??,??)=(1,0,0)及(??,??,??)=(1,0,0)的值；
（3）过点(1,0,0)的流线及??=0在(??,??,??)=(1,1,1)这一质点的迹线； （4）散度、旋度及涡线； （5）应变率张量及旋转张量。
解：
??=????=??
?2??
?1)得{??=?????(???2???1) (1) 由{??=??+??(??
??=??+??(???3???1)??=?????(???3???1)
??????==0 ????
????
? =(0，?2?????2??,?3?????3??) 由题得??==?2?????2??=?2?????2??，则速度的欧拉表示为??
????
??=????=?3?????3??=?3?????3??{????
????????????????
??=+??+??+??=0?? ????????????????
????????????????
(2) 加速度分量为????=????+??????+??????+??????=4?????2??=4?????2??，
??=????+??????+??????+??????=9?????3??=9?????3??{??
????
????
则加速度的欧拉表示为?? =(0,4????,9????; 则加速度的拉格朗日表示为?? =(0,4?????2??,9?????3??)； 当(x,y,z)=(1,0,0)及(a,b,c)=(1,0,0)时，?? =(0,4???2??,9???3??)
????????????????????
(3) 流线微分方程式为??=??=??，因为??=0所以，流线微分方程转化为?2?????2??=?3?????3??，消去中间变量积分得??=??????+??1，又因为??=??，当??=1,??=??=0时，得到??1=0，??=1，即过点(1,0,0)
3??=1
的流线为{??=2??????
3
??=??
?2??
?1)，将??=0，(??,??,??)=(1,1,1)代入得质点轨迹方程为由迹线微分方程为{??=??+??(??
??=??+??(???3???1)
??=1{??=???2?? ??=???3??
????????????
(4) 散度?????? ??=++=0+0+0=0
旋度?????? ??=(
????????
????????????????
????
2
?????2??
?????3??)
?
)??+(?????????)??+(?????????)??=0??+3???3????+?2???2???? ????
????
????????????????
涡线微分方程为
????
??=
涡线方程为{
????
??? ????
(5) 速度梯度?V=[?v]= ????
?w ????
[????
∴应变率张量
????????3
????????+??22 ??=??3
????????
????
????
==
????
，又因为????=0，涡线微分方程转化为
????
3???3??=
????
?2???2??,??=??????????，即
????
????????????
0=[?2???2??????
3???3?????? ????]
???? ????
0000]， 00
标准
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????1???????? (+)
????2????????
???? 1????????
S= (+)2????????????
1(????+????)1(????+????)[2????????2????????∴旋转张量
1????????(+)
2???????? 01???????? (+) = ????2??2???????? 3?3??
???? [?2??????]
????2??00
3
????3?? 2 0
0]
1????????
0(?)
2????????
1????????A= (?)0
2????????
1(?????????)1(?????????)[2????????2????????
1????????
(?) 2???????? 1???????? (?) 2????????
0
]
??=????
?
五、已知拉格朗日描述为{??=????
（1）问运动是否定常，是否是不可压缩流体，是否为无旋流场； （2）求t=1时在点（1,1,1）的加速度； （3）求过点（1,1,1）的流线。
解：
2??????????=????
????
六、已知??=??+1,??=??,??=0，求 （1）速度的拉格朗日描述； （2）质点加速度；
（3）散度及旋度；运动是否有旋；流体是否不可压； （4）迹线及流线。
解：
=??+1得??=??1?????1，又由??==??=??1?????1得y=??1???????+??2，由w==????????????
0得z=??3。再由初始条件t=0,(??,??,??)=(??,??,??)得??1=??+1,??2=??????1,??3=??，则速度
??=(??+1)????
的拉格朗日描述为{??=(??+1)?????1
??=0??????
????=????=?? ????
(2) 质点加速度为????==????
????
??=????=0{??????????????????
(3) 散度div V=????+????+????=1+0+0=1 (1) 由??=
旋度rot V=(?????????)??+(?????????)??+(?????????)??=1?? 因为旋度不为0，故为有旋运动
因为散度不为0，故流体为可压缩流体
标准
????
????
????
????
????
????
????
????
????
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??=(??+1)?????1
(4) 由（1）可得迹线方程为{??=(??+1)???????+??????
??=??
????????????????????
流线微分方程??=??=??，又因为??=0，所以流线微分方程转化为??+1=??，解之得??=???ln(??+1)+??4，由初始条件t=0,(??,??,??)=(??,??,??)得??4=?????+ln(??+1)
()()
所以流线方程为{??=???ln??+1+?????+ln??+1
??=??
七、一水箱尺寸如图所示，箱外大气压????????=1.013×105????，计算下列两种情况下地窗口AB两侧所受的流体合力。（a）水面上方气体压力????=????????；（b）????=1.255×105????
解：
（a） 不妨设AB两侧所受的流体合力为????
1
（b） ∵????=1.255×105????>????????=1.013×105????，需重新设立水平面，不妨设新的水平面
距离原先水平面为h，由????=????????+??水?得?=2.468??
则105??
????=??水(?+???)??=9807×(3+2.468+2×1.5×sin30°)×(1.5×3)=2.579×
1
则????=??水?????=9807×(3+2×1.5×sin30°)×(1.5×3)=1.489×105??
八、如图的微测压计用来测量两容器E和B中的气体压强差。试用??,??,??1,??2表示PE-PB,并说明当横截面积a< 解： 根据流体静力学规律知????+??1???=????+??1??(????+??)+??2????， 即?????????=??1????+(??2???1)???? ?? 又由图可知，????=????；所以??=???? 又有题可知a< 故当两种两种溶液密度相近时，很小的?????????就能引起河很大的液面高度差d。 标准 2 1 ?? ????? 实用文档 九、图为装在做水平匀加速运动物体上的U型管式加速度测量器，已测得两管耶中得液面差h=4cm,两管相距L=20cm,求该物体加速度的大小和方向。 解： 选坐标系??????,??点置于U型管左侧的自由液面上，????轴向右，????轴向上。 质量力????=???,????=???，将其代入????=??(????????+????????)并积分得??=???(????+????)+?? 由边界条件??=0，??=0,??=0得??=0。另外由??=??，??=?,??=0得??=?综上所得可知该物体加速度的大小为，方向往左。 ?? ??? ????? 十、如图一圆柱形容器，其顶盖中心装有一敞口的测压器，容器装满水，测压管中的水面比顶盖高h，圆柱形容器直径为D，当它绕其竖直轴以角速度Ω旋转时，顶盖受到多大的液体向上的总压力？ 解： 如图建立????????坐标系，对????=??(????????+????????+????????)=??(??2??????+??2?????????????)积分得??=??( ??2??2 ????( 2??2??22?? ?????)+??，则有边界调节??=0，??=0,??=?,??=0得??=?????，即得压强的公式为??=???+?)。故在顶盖处的压强为??=????( ??2??2??22?? +?)，则顶盖受到的向上的力为 ??2??2??????2??4?????????2 F=∫??????=∫????(+?)2????????=+ 2??644 0 标准
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