理论力学基本概念

由这个定理可以得到力偶的下列性质。 力偶的性质：

性质一 力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），因此也不能与一个力平衡。 性质二 力偶可在其作用面内转动，或平移到另一平行面上，而不改变对刚体的作用 效应(如图1-6a、b所示)。

性质三 若改变力偶中的力和力偶臂的大小，而不改变力偶的转向和力偶矩的大小， 则力偶对刚体的作用效应不会改变（如图1-6c所示，其中Fd?F1d1）。

d F F’ F’ d F d F F’ ? （ａ）

? F （ｂ）

d F’ ?F1d1F1 d F’ 'F （ｃ） 图1-6

定理7（三力平衡定理）作用于刚体上的三个力若平衡，则这三个力的作用线必共面，或是平行，

或是相交于一点。

由该定理可推出这样的结论：作用于刚体上共面的三个力若平衡，如果它们不平行，则必汇交于一点。 六、

力系的简化

作用在刚体上力系{F1,F2,?,Fn}向某一点A简化实际上是确定一个与原力系等效的简化力系，这个简化力系一般由一个作用线通过简化点A的力和一个力偶构成，这个力的大小和指向由原力系的主矢FR确定，而这个力偶的力偶矩由原力系对A点的主矩MA来确定，将该简化力系记为{FR,MA}。同理原力系{F1,F2,?,Fn}也可以向另一个简化点

B简化，得到另一个简化力系是{FR,MB}。这两个简化力系均是由一个力和一个力偶构成，这两个简化力系中的力（不包

括力偶）的大小和指向都是相同的，只是作用线不同，一个过简化点A，另一个过简化点B，在一般情况下，两个简化力系中的力偶MA和

MB的力偶矩是不同的，但它们满足关系式（1-2）。

力系{F1,F2,?,Fn}简化的最后结果有以下四种情况：

（1） 力系简化为一合力偶

若FR?0,MO?0?0,MO?0，则力系等价于一个力偶，其力偶矩等于该力系对简化点O的主矩。

（2） 力系简化为一合力

若FR点。 若FR，则该力系等价于一个力，力的大小和方向由力系的主矢确定，力的作用线过O

?0,MO?0,FR?MO，则该力系等价于一个力，力的大小和方向由力系的主矢确定，

力的作用线不过O点，而过O’点（O’点如何确定请读者自己思考）。

（3） 力系简化为力螺旋

若FR?0,MO?0,且FR,MO互不垂直，则力系等价于一个力螺旋。

（4） 力系平衡

若FR?0,MO?0，则力系等价于一个零力系（平衡力系）。

由此可知力系是平衡力系的充分必要条件是：力系的主矢和对某一点的主矩均为零。 同理，根据定理6和平衡力系的定义，也可以得到上述力系的平衡条件。

刚体的定点运动与一般运动

刚体的定点运动与一般运动属于刚体的三维运动,在本章首先研究其运动学,然后在研究其动力学

一、定点运动刚体的运动学

刚体的定点运动：刚体在运动时，如果其或其延展体上有一点不动，则称这种运动为刚体的定点运动。 （1） 刚体定点运动的运动方程。确定定点运动刚体在空间的位置可用欧拉（Euler）角表示，它们分别是进动角自转角

?，章动角?，

?。刚体定点运动的运动方程为

（12－1） （2）刚体定点运动的角速度和角加速度。定点运动刚体的角速度可表示成

?＝f1(t),?＝f2(t),?＝f3(t)?＋??＋???＝? （12－2）

刚体角速度?矢量平行于瞬时转轴。定点运动刚体的角加速度定义为：

?＝d?dt （12－3）

一般情况下角速度矢量?的大小和方向都随时间变化，因此角加速度矢量?和角速度矢量?不平行。 （3）定点运动刚体上各点的速度和加速度。定点运动刚体上任意点M的速度可表示成 （12－4）

其中：r为由定点O引向点M的矢径。定点运动刚体上任意点M的加速度可表示成

v???ra???r???v （12－5）

上式中等号右端第一项R定义为转动加速度，第二项N定义为向轴加速度。

（4）刚体定点运动的位移定理：定点运动刚体的任何有限位移，可以绕过定点的某一轴经过一次转动而实现。 二、定点运动刚体的动力学 （1） 定点运动刚体的动量矩。定点运动刚体对固定点O的动量矩定义为：

a???ra???vLO?r,v?r?vdmM??r?(??r)dmM （12－6）

其中：分别为刚体上的质量微团dm的矢径和速度，?为刚体的角速度。当随体参考系的三个轴量主轴时，上式可表示成

（12－7）

（2）定点刚体的欧拉动力学方程。应用动量矩定理可得到定点运动刚体的欧拉动力学方程

ox',oy',oz'为惯

LO?Jx'?x'i'?Jy'?y'j'?Jz'?z'k'?x'?(Jz'?Jy')?y'?z'?MJx'??y'?(Jx'?Jz')?z'?x'Jy'??z'?(Jy'?Jx')?x'?y'Jz'????My'??Mz'??x' （12－8）

（3）陀螺近似理论。绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体成为陀螺。若陀螺绕的自旋角速度为?，进动角速度为?，

为陀螺对质量对称轴的转动惯量，则陀螺的动力学方程为

Jz'??Jz'??MOM （12－9）

O其中是作用在陀螺上的力对O点之矩的矢量和。 三、刚体的一般运动

（1）刚体一般运动的运动学。确定一般运动刚体在空间的位置，需要确定刚体上任意一点O’（基点）的坐标刚体相对基点作定点运动的三个欧拉角

xO',yO',zO'和

?，?，

?。一般运动刚体的运动方程为

（12－10）

（2）一般运动刚体上任意一点的速度和加速度。一般运动刚体上任意一点M的速度可表示成

xO'＝f1(t),yO'＝f2(t),zO'＝f3(t)???＝f4(t),?＝f5(t),?＝f6(t)?vM?vO'???r'其中成

（12－11）

vO'为基点O'的速度，r'为由O'引向M点的矢径，?为刚体的角速度。一般运动刚体上任意一点M的加速度可表示

aM?aO'???r'???vMa （12－12）

其中O'为基点O'的加速度。

（3）刚体一般运动的运动微分方程。刚体一般运动的运动微分方程可由质心运动定理和相对质心的动量矩定理得到。

静力学理论的应用

应用静力学的基本理论与方法研究物体系统的平衡是本章的基本内容，其中包括：刚体系统的平衡问题；桁架的平衡问题，考虑摩擦时物体的平衡问题等。

一、 静定与静不定问题

在研究刚体或刚体系统的平衡问题中，如果未知量（包括：约束力，平衡位置等）的数目等于系统独立的平衡方程的数目时，所有未知量均可由平衡方程唯一地求解出来，这样的问题称为静定问题；如果未知量的数目大于系统独立的平衡方程的数目时，未知量不能由平衡方程唯一地求解出来（有时只能求出部分未知量），这样的问题称为静不定问题。

从数学角度来看，判断系统的静定与静不定问题，是根据系统未知量的数目与独立平衡方程数目的关系来确定。从力学角度来看，静不定问题，一般是系统存在某种多余的约束。例如图3-1所示系统是静定的，因为铰链A、B处的约束力（三个未知量）可由三个独立的平衡方程完全确定；而图3-2所示系统是静不定的，因为在水平方向存在多余的约束，A、B处的约束力为四个未知量，独立的平衡方程只有三个，不能唯一地求出所有的未知量，但可以求出部分未知量，如可以求出约束力在铅垂方向的两个分量，而在水平方向的两个分量不能唯一地确定。

F2F1

F2F1

A M A B M B 图3－1

图3－2

二、 刚体系统的平衡问题

在一般情况下，对于静定的刚体系统，其独立的平衡方程数目等于系统中每个刚体的独立平衡方程数目之和，由这组平衡方程可求得刚体系统中所有未知量，但求解联立的代数方程组，计算量较大，通常利用计算机进行数值求解。在理论力学的课程学习中，则侧重强调基本理论与基本方法的理解与掌握。在求解刚体系统的平衡问题时，突出强调灵活恰当地选取研究对象，对研究对象进行受力分析，建立平衡方程，并尽量避免求解联立方程，最好一个方程求解一个未知量。 三、 平面桁架的平衡问题

桁架是特殊的刚体系统，其特点是构成桁架的各个部件均抽象成二力杆。求解杆件内力或约束力时的思想方法与求解刚体系统平衡问题的相同，只是在分析过程中要利用二力杆的特点。 求解桁架平衡问题的基本方法有：

（1） 节点法：以桁架的节点为研究对象，通过求解平衡方程，确定杆件内力的方法。 （2） 截面法：将桁架沿某一面截出一部分作为研究对象，应用平衡方程求解杆的内力的方法。 四、 考虑摩擦时的平衡问题

1、滑动摩擦

两个相接触的物体有相对滑动或滑动趋势时，在接触处有阻碍其滑动的力，这种力称为滑动摩擦力。

滑动摩擦的分类及其特点：

（1） 物体处于静止但有滑动趋势时，存在静滑动摩擦力F。

摩擦力的方向：与相对滑动趋势的方向相反。 摩擦力的大小：

0?F?Fmax，其中

，由平衡方程确定。最大静摩擦力的大小由库仑定律确定，即：

Fmax?fsFNfs为静滑动摩擦因数（可由手册查出），

FN为法向约束力的大小。当摩擦力达到最

大值时，摩擦点即将产生滑动，这种状态称为临界状态

（2） 当物体滑动时，存在动滑动摩擦力F’。

摩擦力的方向：与相对滑动的方向相反。 摩擦力的大小：

2、摩擦角与摩擦自锁 将约束面对物体的全反力

F'?fFN，其中

f为动滑动摩擦因数，

FN为法向约束力的大小。

FR(FR?F?FN)的作用线与法向约束力作用线的夹角记为

?，如图3-3a所示；达

到临界状态时的全反力所示，并有关系式

FR(FR?Fmax?FN)。

的作用线与法向约束力作用线的夹角记为

?m，称为摩擦角，如图3-3b

tan?m?fsFR ?FNFR F ?m FN Fmax

(a)

(b)

图3-3

由前述可知，全反力的作用线总在摩擦角以内。当作用在物体上主动力的作用线也在摩擦角的范围内时，无论主动力的大小如何变化，物体总保持平衡而不滑动，这种现象称为摩擦自锁。摩擦自锁条件是

3、滚动摩阻

当两个相接触的物体有相对滚动或滚动趋势时，在接触处除了有摩擦力外，还存在滚动摩擦力偶M，这个力偶称为滚阻力偶。

（1）

物体处于静止但有滚动趋势时，存在滚阻力偶M。 滚阻力偶的转向：与滚动趋势的转向相反。 滚阻力偶矩的大小：

???m。

0?M?Mmax，由平衡方程确定。最大滚阻力偶矩的大小由关系式

Mmax??FN确定，其中?为滚阻系数（可由手册查出），动，这种状态也称为临界状态。

（2）

当物体滚动时，存在滚阻力偶M。 滚阻力偶的转向：与滚动转向相反。

滚阻力偶矩的大小：近似地由关系式

FN为法向约束力的大小。当滚阻力偶达到最大值时，物体即将滚

Mmax??FN确定。

虚位移原理