【课时训练】第30节 数列求和
一、选择题
1．(2018阳泉质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2
＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝( )
A．7 C．14 【答案】C
【解析】由an＋2＝2an＋1－an知数列{an}为等差数列，由a5＝4－7?a1＋a7?
a3得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝＝14. 2
2．(2018辽宁五校联考)已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝126，bn＝2(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，则S100的值为( )
an－1
101A.25 25C．101 【答案】C
【解析】在等差数列{an}中，a5＋a7＝2a6＝26?a6＝13.又数列{an}a6－a313－7的公差d＝＝3＝2，所以an＝a3＋(n－3)·d＝7＋(n－3)×2
6－31?111?1－?＝2n＋1，那么bn＝2＝＝4nn＋1?，故Sn＝b1＋b2＋…
an－14n?n＋1???1?n?1?100?25
??＋bn＝4n＋1?S100＝4?101?＝101.
????
3．(2018河南郑州模拟)已知在等差数列{an}中，a1＝120，公差d＝－4.若Sn≤an(n≥2)，其中Sn为该数列的前n项和，则n的最小值为( )
A．60 C．70 【答案】B
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B．12 D．21
35
B．36 3D．10 B．62 D．72
【解析】由题意得an＝120－4(n－1)＝124－4n，Sn＝120n＋n?n－1?222
×(－4)＝122n－2n.由S得122n－2n≤124－4n，即nn≤an，2－63n＋62≥0，解得n≥62或n≤1(舍去)．故选B.
34．(2018嘉兴调研)已知an＝(n∈N*)，数列{an}的前n项
2n－101和为Sn，则使Sn＞0的n的最小值为( )
A．99 C．101 【答案】C
【解析】由通项公式得a1＋a100＝a2＋a99＝a3＋a98＝…＝a50＋a51
3
＝0，a101＝101＞0.故选C.
5．(2018广东肇庆二模)已知数列{an}的前n项和是Sn，且4Sn
＝(an＋1)2，则下列说法正确的是( )
A．数列{an}为等差数列 B．数列{an}为等差或等比数列 C．数列{an}为等比数列
D．数列{an}既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B
【解析】∵4Sn＝(an＋1)2，∴4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，∴4Sn＋1－4Sn＝4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，∴an
＋1
B．100 D．102
＝an＋2，或an＋1＋an＝0，∵4a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1.故选B. 1
6．(2019山西太原五中调考)在数列{an}中，an＞0，a1＝2，如果2anan＋1＋1a2a3a4a100an＋1是1与的等比中项，那么a1＋22＋32＋42＋…＋1002的
4－a2n值是( )
100
A.99
101B．100
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100C．101 【答案】C
99D．100
2anan＋1＋1
【解析】由题意得a＝?(2an＋1＋anan＋1＋1)(2an＋1－
4－a2n
2
n＋1
an－1111
anan＋1－1)＝0?an＋1＝?an＋1－1＝?＝－1，
2－an2－anan＋1－1an－1
?1?1
??∴数列a－1为以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴＝－
an－1?n?
2－(n－1)＝－n－1?an＝
nan111a2?n2＝＝n－.∴a1＋22＋…n＋1n?n＋1?n＋1
a10011111100
＋1002＝1－2＋2－3＋…＋100－101＝101.
7．(2018湖南衡阳模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，则该数列前2 017项的和S2 017＝( )
A．1 345 C．1 342 【答案】A
【解析】由a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，得a3＝0，a4
＝1，a5＝1，a6＝0，则数列{an}是以3为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＝2.又2 017＝672×3＋1，所以S2 017＝672×2＋1＝1 345.
二、填空题
8．(2018河北冀州中学月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S3，S4成等差数列，则数列{an}的公比为________．
1＋5
【答案】2 【解析】设{an}的公比为q，由题意易知q＞0且q≠1.因为S1，2a1?1－q3?a1?1－q4?
S3，S4成等差数列，所以2S3＝S1＋S4，即＝a1＋，
1－q1－q1＋5
解得q＝2.
9．(2018泰安模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n·(an＋1)，
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B．671 D．1 341
记Sn为{an}的前n项和，则S2 017＝________.
【答案】－1 007
【解析】由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得，该数列是周期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，所以S2 017＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＝504×(－2)＋1＝－1 007.
10．(2018山东枣庄质检)对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”．若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
【答案】 2n＋1－2
【解析】 ∵an＋1－an＝2n, ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋
n
2－2
(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.
1－2
2－2n＋1
∴Sn＝＝2n＋1－2.
1－2三、解答题
11．(2018湖北稳派教育联考)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，Sn＝n2＋n(a1－1)(n∈N*)，且a1，a3－1，a5＋7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
anan＋1【解】(1)∵Sn＝n2＋n(a1－1)， n?n－1?d2?d?
?a－又Sn＝na1＋2d＝2n＋12?n，
?
?
∴d＝2.
又a1，a3－1，a5＋7成等比数列．
∴a1(a5＋7)＝(a3－1)2，即a1(a1＋15)＝(a1＋3)2，解得a1＝1，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
1?111?1
－?， (2)由(1)可得bn＝＝＝?anan＋1?2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1?
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