解答： 解：由相似三角形知，，， ∴2aλ+bλ=b，2aλ=b（1﹣λ），22222． （1）当时，，∴a=b，y=±x． （2） =∴∴（3）当时，e最大3，，∴时，2，在2上单调递增函数． 时，e最小， ． ，∴b=2a． 2 2∵PF2⊥F1F2，∴PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点．再由弦的性质可得圆心还在线段F1F2的中垂线（y轴）上， ∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF1=8． 又∴，∴，故圆心C（0，2），半径为4， 22． 故所求的圆的方程为 x+（y﹣2）=16． 点评： 本题考查圆的标准方程、双曲线的性质、直线和圆锥曲线的关系，属于中档题． 19．（8分）（2008?湖北）已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，
，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由． 考点： 等比关系的确定． 专题： 压轴题． 分析： （1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．
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（2）用数列an构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论． （3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论． 2解答： 解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a2=a1a3，即，矛盾． 所以{an}不是等比数列． （Ⅱ）解：因为bn+1=（﹣1）nn+1[an+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（an﹣2n+14） =（﹣1）?（an﹣3n+21）=﹣bn 又b1=﹣（λ+18），所以 +当λ=﹣18，bn=0（n∈N），此时{bn}不是等比数列： 当λ≠﹣18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知bn≠0， ∴（n∈N）． +故当λ≠﹣18时，数列{bn}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=﹣18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求． ∴λ≠﹣18，故知bn=﹣（λ+18）?（﹣）n﹣1，于是可得 Sn=﹣要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立， ， 即a＜﹣（λ+18）?[1﹣（﹣）]＜b（n∈N） 得 n+① 当n为正奇数时，1＜f（n）≤；当n为正偶数时，∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，． 于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜当a＜b≤3a时，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在实数满足题目要求； 当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范围是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18） 点评： 这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难
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， ．
度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力． 20．（8分）（2012?山东）已知函数
为常数，e=2.71828…是自然对数的
底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行． （Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间； （Ⅲ）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 综合题；压轴题；探究型；转化思想． 分析： （Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值； （II）由（I）知，解出函数的单调区间即可； （III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣22一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e在0＜x＜1时成立，利用导数求﹣2出函数在（0，1）上的最值，与1+e比较即可得出要证的结论． 解答： 解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）， ﹣﹣2
=，x∈（0，+∞），利用导数∴由已知，=，∴k=1． ，x∈（0，+∞）， （II）由（I）知，=，x∈（0，+∞）， 设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2）， 当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，当x∈（ e，1）时，h'（x）＜0， ﹣2﹣2可得h（x）在x∈（0，e）时是增函数，在x∈（ e，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数， 又h（1）=0，h（e）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1 ∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0， 当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0． 综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）． （III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e，故只需证明g（x）＜﹣21+e在0＜x＜1时成立．
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﹣2﹣2﹣2﹣2
当0＜x＜1时，e＞1，且g（x）＞0，∴设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2）， x． 当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，当x∈（ e，1）时，F'（x）＜0， ﹣2﹣2﹣2所以当x=e时，F（x）取得最大值F（e）=1+e． ﹣2所以g（x）＜F（x）≤1+e． ﹣2综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e． 点评： 本题考查利用导数研究函数的最值及曲线上某点处的切线方程，解题的关键是灵活利用导数工具进行运算及理解导数与要解决问题的联系，此类题运算量大，易出错，且考查了转化的思想，判断推理的能力，综合性强，是高考常考题型，学习时要严谨认真，注意总结其解题规律． 21．（20分）选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分． A选修4﹣1：几何证明选讲
如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C． 求证：∠ACB=∠OAC． B选修4﹣2：矩阵与变换 已知矩阵A=
，向量
．求向量，使得A
2
﹣2﹣2=．
C选修4﹣3：坐标系与参数方程 已知椭圆C的极坐标方程为ρ=D选修4﹣4：不等式选讲
已知函数f（x）=（x﹣a）+（x﹣b）+（x﹣c）+小值为m，若a﹣b+2c=3，求m的最小值．
2
2
2
2
，焦距为2，求实数a的值．
（a，b．c为实数）的最
考点： 特征值、特征向量的应用；弦切角；简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： A连接OE，AE，并过点A作AF⊥DE于点F，由DE是切线，知OE⊥DC，由BC⊥DE，知OE∥AF∥BC，由此能够推导出∠ACB=∠OAC． B由A=，知A=2=，设=，则，由此能求 16
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