一、带电粒子在无边界匀强磁场中运动1专项训练
1．空间中存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电量为?q、质量为m的粒子，在P点以某一初速开始运动，初速方向在图中纸面内如图中P点箭头所示。该粒子运动到图中Q点时的速度方向与P点时速度方向垂直，如图中Q点箭头所示。已知
P、Q间的距离为l。若保持粒子在P点时的速度不变，而将匀强磁场换成匀强电场，电
场方向与纸面平行且与粒子在P点时速度方向垂直，在此电场作用下粒子也由P点运动到
Q点。不计重力。求：
(1)电场强度的大小。
(2)两种情况中粒子由P运动到Q点所经历的时间之差。
?mqlB2【答案】(1)E?2；(2)(?1)
2qBm【解析】 【详解】
（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，以v0表示粒子在P点的初速度，R表示圆周半径，则有
2v0qv0B?m ①
R由于粒子在Q点的速度垂直于它在4P点时的速度，可知粒子由P点到Q点的轨迹是圆周的
1，故有 4R?l2qlB2m ②
联立①②得
v0? ③
在电场中粒子做类平抛运动，分别以x、y、E、a、tE表示射程、偏转位移、电场强度，加速度和运动时间，则
qE?ma ④
垂直v0方向
12y?R?atE ⑤
2沿v0方向
x?R?v0tE ⑥
联立②③④⑤⑥各式可解得
2qlB2 E?m电场强度的大小为
2qlB2 E?m1（2）由分析知粒子在磁场中由P运动到Q点所经历的时间tB为周期，故
4112?R?mtB?T??? 44v02qB在电场中由P运动到Q点所经历的时间
tE?Rm? v0qB由P运动到Q点所经历的时间之差
?mtB?tE?(?1)
2qB?m两种情况中粒子由P运动到Q点所经历的时间之差为(?1)
2qB
2．如图，光滑水平桌面上有一个矩形区域abcd，bc长度为2L，cd长度为1.5L，e、f分别为ad、bc的中点．efcd区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B；质量为m、电荷量为+q的绝缘小球A静止在磁场中f点．abfe区域存在沿bf方向的匀强电场，电场强度为
qBLqB2L；质量为km的不带电绝缘小球P，以大小为的初速度沿bf方向运动．P与A
m6m发生弹性碰撞，A的电量保持不变，P、A均可视为质点．
（1）若A从ed边离开磁场，求k的最大值；
（2）若A从ed边中点离开磁场，求k的可能值和A在磁场中运动的最长时间．
【答案】（1）1（2）k?【解析】 【详解】
（1）令P初速度v?3?m51或k? ；A球在磁场中运动的最长时间
2qB73qBL，设P、A碰后的速度分别为vP和vA， m 由动量守恒定律：kmv?kmvP?mvA 由机械能守恒定律：可得：vA?11122kmv2?kmvP?mvA 2222kqBL?，可知k值越大，vA越大； k?1mmvA2 设A在磁场中运动轨迹半径为R， 由牛顿第二定律：qvAB?R可得：R?mvA2kL，k值越大，R越大； ，可知vA越大，R越大；即R?qBk?1qBL，求得k的最大值为k?1 m如图1，当A的轨迹与cd相切时，R为最大值，R?L 可得：vA?
（2）令z点为ed边的中点，分类讨论如下：
（I）A球在磁场中偏转一次从z点就离开磁场，如图2有
2?L?R?????1.5L?R?
?2?22解得：R?5L5 可得：k? 67（II）由图可知A球能从z点离开磁场要满足R?L，则A球在磁场中还可能经历一次半2圆运动后回到电场，再被电场加速后又进入磁场，最终从z点离开．令电场强度
qB2L；如图3和如图4，由几何关系有： E?6m
3??L??R2?????3R?L?
2??2??解得：R?可得：k?当R?当R?225LL或R? 8251或k? 1135LqBR5qBL1752?qEL?qEL 时，vA?，由于?mvA?8m8m264LqBRqBL132?时，vA?，由于?mvA?qEL?qEL
2m2m24此类情形取R?L1符合题意要求，即k? 2351 或k? 73综合（I）、（II）可得A球能从z点离开的k的可能值为：k?A球在磁场中运动周期为T?当k=
2?R2?m? vAqB3T3?m1?时，如图4，A球在磁场中运动的最长时间t? 42qB3
3．如图所示，xOy平面内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=0. 1T，在原点O有一粒子源，它可以在xOy平面内向各个方向发射出质量m?6.4?10?27kg电荷量
q?3.2?10?19C、速度v?1.0?106m/s的带正电的粒子。一感光薄板平行于x轴放置，其
中心O?的坐标为（0，a），且满足a>0. 不考虑粒子的重力以及粒子之间的相互作用。 （1）若薄板足够长，且a=0. 2m，求感光板下表面被粒子击中的长度； （2）若薄板长l=0. 32m，为使感光板下表面全部被粒子击中，求a的最大值；
【答案】(1)【解析】 【分析】
1?3m (2)0.32m 5(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹完全提供向心力，粒子速度大小一定，方向不定，采用旋转圆的方式确定临界点；
(2)作出粒子恰能击中板的最左端与最右端时粒子的轨迹，求出a的最大值。 【详解】
(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹完全提供向心力：
v2qvB?m
r解得：r?0.2m
沿y轴正方向发射的粒子击中薄板的最左端D点，可知：
x1?r?0.2m
而击中薄板最右端E点的粒子恰好运动了半个圆周，由几何关系可得：
2r2?x2?(2r)2
解得：x2?3m 51?3m 5则感光板下表面被粒子击中的长度：L?x1?x2?(2)粒子恰能击中薄板的最左端点，由几何关系可知：
l()2?(a?r)2?r2 2解得：a?0.32m
若粒子恰能击中薄板的最右端点，根据几何知识可知：
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