高等数学期末复习(1)

总复习（上）

高数期末复习（1）

一、函数

1、函数定义域的计算：1）偶次根式中被开方数?0；2）分母不能为0；3）对数中真数＞0；

4）反正弦、反余弦函数

2（解联列不等式组得到公共解） x?1。

实例：1）y?16?x?lnsinx 2）y?ln(1?5x)?2、判断函数奇偶性、有界性、周期性

1）奇偶性：在对称区间内：①若f(?x)?f(x)

②若f(?x)??f(x)1x?1

3）y?arcsinx?1 3f(x)为偶函数。例：y?cosx,f(x)为奇函数。例：y?sinx,y?x2 y?x3

③若f(?x)??f(x)?f(x)f(x)为非奇非偶函数。例：y?x?2x

4）y?x?3?x实例：1）y?xsinx 2）y?lg1?x2 3）y?lg(x?x?1) 1?x

2）有界性：f(x)?M。例：①f(x)?1?cos2x有界，f(x)?2。

②f(x)?xsinx无界，对任一M，总可找到x0?2k???2?M，使f(x)?2k???2?M

3）周期性：f(x?T)?f(x)，两周期函数的和或积的周期为这两个周期函数的最小公倍数，

例：y?sinx? y?sinxcos

tanxx，sinx周期?，tan周期2?，故函数周期2?。 22，sinx周期2?，cos??x2??x2周期4，故函数无周期。

y?sinx，定义域?0,???，无周期（周期函数定义域无上下界）。

。 y?f??(x)?是由y?f(u)和u??(x)复合而成，u是中间变量（熟练掌握）

3、复合函数的复合过程

例：y?sin(cos3x)，是由y?u,u?sinv,v?cosw,w?3x复合而成。 实例：写出复合过程 1）y?(arccos)

22x22

2）y?lnsinx

2

3）y?3sin2x

4、经济函数 Q—需求量、销售量或产量； P—商品价格； C—成本； R—收益； L—利润 1）需求函数：Q?Q(P)单调减少函数；价格函数：P?P(Q)

2）成本函数：C?C(P)?C0?C1(Q) （C0--固定成本；C1--可变成本） 3）收益函数：R?PQ （P可从需求函数中得到）

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4）利润函数：L(Q)?R(Q)?C(Q)， 利润函数=收益函数-成本函数 二、极限与连续 1、函数的极限

当x?x0(?)时，函数f(x)无限趋向于一个确定的数值A，则A为f(x)当x?x0(?)时的极限，记：limf(x)?A。limf(x)?A的充要条件是lim?f(x)?lim?f(x)?A

x?x0x?x0x?x0x?x0掌握下列极限：limarctanx?x????2；limarctanx??x???x?2；lime???；lime?0

x???x???xxx

a(? lima???(a?1) lima?0x???x???x 1 ) lima?0(?0a?x???0a? 1 lima???(?x???x 1)2、无穷小量、无穷大量、无穷小量比较

1）无穷小量：若limf(x)?0，则称f(x)为当x?x0(?)时的无穷小量。

x?x0 2）无穷大量：若limf(x)??，则称f(x)为当x?x0(?)时的无穷大量。

x?x0 3）无穷小与无穷大的关系：一般地，两者互为倒数。若limf(x)?0，则limx?x0x?x01??。 f(x) 4）无穷小量性质：①有限个无穷小量的和仍为无穷小量；②有限个无穷小量的积仍为无穷小量； ③有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。 5）无穷小量比较：设?(x)与?(x)为同一变化趋势下的两个无穷小量。

①lim

???0，则?是比?高阶的无穷小量； ②lim??，则?是比?高阶的无穷小量； ?????C，则?是?同阶的无穷小量； ④lim?1，则?与?是等价无穷小量。

??2

③lim实例：1）无穷小量比较：x?0时，xsin

21与x；1?x?1?x与x。 x x??3时，x?6x?9与x?3比较。

3、极限的计算方法

1）直接代入法：适用于f(x)在x?x0处连续的条件下，limf(x)?f(x0)

x?x02）消去致零因子法：适用于当x?x0时，“

0”型未定式。一般采用因式分解，分子、分母有理化0x2?ax?13）lim存在，求a。 2x?1x?1消去致零因子，也可采用罗必达法则。

x2?3x?10实例：1）lim2

x?2x?x?25?x?x?12）lim 2x?2x?43）无穷小量析出法：适用于当x??时，“

?” 型未定式，也可采用罗必达法则。一般采用分子?2

分母同除x最高次项后，得到无穷小量后可求出。

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4x2?12x2?3x?10实例：1）lim 2）lim

x??x??3x2?x?2x4）重要极限法 重要极限一： lim

3）lim(x2?x?x??x2?1）

sin?(x)sinxtanxarcsixn?1， lim?1， lim?1， lim?1

?(x)?0?(x)x?0x?0x?0xxx 适用于“

0”型含有sinx,tanx等三角函数式的极限。 0111f(x)1 重要极限二： lim(1?lim(1?x)x?e，)?e，lim(1?f(x))f(x)?e lim(1?)x?e，

f(x)?0x?0f(x)??x??f(x)x 适用于(1?0)未定式极限。

?sin(sinx)实例：1）lim

x?0x2）lim(1?x)tan(x?1?2x)

x?1x3）lim()

x??x?14）limxx?13x?1

其他方法：1）无穷小量替代法：利用等价无穷小量替代，一般适用于“

0”型，要熟知一些等价无穷小。 0x 当x?0时：x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～e?1

x2? 1?cosx～；(1??x)?1～??x（??0,??0）

2sinx?tanx实例：①lim

x?0ln(1?3x3)

1??②lim?(x?2)ex?x? x????2）利用无穷小量性质：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。 例如：limtan(e1?0

x?1x?10?3）罗必达法则：适用于“”型或“” 型未定式（需满足三个条件），可多次重复使用。

0?x?1?ex?1)sin2 limx?x0f(x)f?(x)?lim?A(?) g(x)x?x0g?(x)

1?x?1 实例：1）lim

x?0sin2x4、函数的连续性

x12）lim(?)

x?1x?1lnxex?e?x?23）lim 2x?0sinx1）函数连续的定义：设f(x)在点x0处及其近旁有定义，若lim?y?lim?f(x0??x)?f(x0)??0，

?x?0?x?0则函数y?f(x)在点x0处连续。

2）函数y?f(x)在x0处连续必须满足三个条件： ①y?f(x)在点x0处及其近旁有定义；

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②limf(x)存在（lim?f(x)?lim?f(x)?A） ③limf(x)?f(x0)

x?x0x?x0x?x0x?x03）函数的间断点

第一类间断点：f(x)在点x0处左右极限都存在，但不相等（跳跃间断点），或左右极限相等但不等

于x0处函数值f(x0)（可去间断点）。

第二类间断点：f(x)在点x0处左右极限至少有一个不存在。 实例：1）y?e

1x

2）y?sinx x

3）y?sinx x

4）y?4 x?25、闭区间上连续函数性质

1）最值定理：闭区间上的连续函数必存在最大值M和最小值m。 2）有界性定理：闭区间上的连续函数必有界。

3）介值定理：若f(x)在闭区间?a,b?上连续，f(a)?f(b)，则对f(a)与f(b)之间的任何数?，

总存在?，使得f(?)??。

4）零点定理：若f(x)在闭区间?a,b?上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少有一点?，

使得

三、导数与微分

1、导数的定义：设函数y?f(x)在x0的近旁有定义，若lim的导数存在或可导，记为：f?(x0)?

f(?)?0

?y存在，则称函数y?f(x)在点x0处

?x?0?xdydxx?x0?limf(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?0?x?x 导数定义表示的其它形式：f?(x0)?limh?0f(x)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)；f?(x0)?lim

x?x0x?x0h2、导数的几何意义：f?(x0)是曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率，k?f?(x0) 实例：求曲线y??x?2在点x?1处切线方程。

导数的物理意义：1）变速直线运动物体在t时刻的速度是路程对时间的一阶导数：v(t)?s?(t)。 2）变速直线运动物体在t时刻的加速度是速度对时间的一阶导数：a(t)?v?(t)。 3、可导与连续的关系：若函数y?f(x)在x?x0处可导，则f(x)在x0处必连续；但若f(x)在x0处

连续，其在该点的导数不一定存在。即：可导一定连续，但连续不一定可导。

例如，y?x?1在x?1处连续，但不可导。 4、求导公式、求导法则

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