2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练：解答题规范练(五)

解答题规范练(五)

1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足bcos C＋(2a＋c)cos B＝0.

(1)求角B的值；

(2)若b＝1，cos A＋cos C＝3，求△ABC的面积． 2.

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，PA＝PC，二面角P-AC-B 的大小为60°.

(1)求证：平面PBD⊥平面PAC； (2)求AB与平面PAC所成角的正弦值．

1

3．已知函数f(x)＝x3－ax＋ln x.

6

(1)若f(x)在定义域上单调递增，求a的取值范围； (2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：x1＋x2＞2.

4.

如图，已知点F为抛物线W：x2＝4y的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交抛物线W于A，C，B，D四点，E，G分别为AC，BD的中点．

(1)求证：直线EG过定点，并求出该定点的坐标；

(2)设直线EG交抛物线W于M，N两点，试求|MN|的最小值．

5．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)． (1)设bn＝an＋1＋an(n∈N*)，求证{bn}是等比数列； (2)①求数列{an}的通项公式；

11117

②求证：对于任意n∈N*都有＋＋…＋＋<成立．

a1a2a2n－1a2n4

解答题规范练(五)

1．解：(1)由正弦定理知，sin Bcos C＋(2sin A＋sin C)cos B＝0，sin(B＋C)＋2sin Acos B2π1

＝0，sin A＋2sin Acos B＝0，因为sin A≠0，所以cos B＝－，解得B＝.

23

ππ33

(2)cos A＋cos C＝3，cos(－C)＋cos C＝3，sin C＋cos C＝3，sin(C＋)＝1，

3223π3解得C＝，所以a＝c＝，

63

13故S△ABC＝acsin B＝.

2122．解：(1)

证明：

BD⊥AC

??PD⊥AC? ?AC⊥平面PBD， PB∩BD＝B??

又AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD，即平面PBD⊥平面PAC. (2)因为AC⊥BD，如图建立空间直角坐标系．

则D(0，0，0)，令A(1，0，0)，则B(0，3，0)，C(－1，0，0)．又∠PDB为二面角

λ3P-AC-B的平面角，得∠PDB＝60°.设DP＝λ，则P?0，，λ?，

22??

设n＝(x，y，z)为平面PAC的一个法向量，则

λ3→→

AC＝(－2，0，0)，AP＝?－1，，λ?，

22??

－2x＝0??→

得?，取y＝3，得n＝(0，3，－1)．又AB＝(－1，3，0)，得cosλ3??－x＋2y＋2λz＝0333→→〈n，AB〉＝＝.设AB与平面PAC所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，AB〉|＝.

42×24

11

3．解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意知f′(x)＝x2－a＋≥0在(0，＋∞)上

2x11

恒成立，即a≤x2＋在(0，＋∞)上恒成立，

2x

11

令g(x)＝x2＋，x>0，

2x1x3－1

则g′(x)＝x－2＝2，

xx

所以当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当0

所以当x＝1时，g(x)有最小值g(1)＝，

23

所以a≤.

2

111111

(2)证明：因为f′(x)＝x2－a＋，由f′(x)＝0知，a＝x2＋，设g(x)＝x2＋，x>0，

2x2x2x由g(x1)＝g(x2)，且g(x)在(1，＋∞)上单调递增，g(x)在(0，1)上单调递减，所以0

令h(x)＝g(x)－g(2－x)，x∈(0，1)，则h′(x)＝x－2＋2－x－

x（2－x）2

2x2－4x＋42（x－1）2[（x－1）2－3]

＝2－2＝，

x（2－x）2x2（2－x）2所以h(x)在x∈(0，1)上单调递减， 又h(1)＝0，故h(x)>h(1)＝0恒成立， 所以g(x)>g(2－x)对x∈(0，1)恒成立， 因为0g(2－x1)， 即g(x2)>g(2－x1)，

又x2>1，2－x1>1且g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以x2>2－x1 即x1＋x2>2.

4．解：(1)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，直线AC的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y可得x2

－4kx－4＝0，则x1＋x2＝4k，故y1＋y2＝kx1＋1＋kx2＋1＝4k2＋2，

故AC的中点坐标E(2k，2k2＋1)．

22

由AC⊥BD，可得BD的中点坐标为G(－，2＋1)．

kk2

令2＋1＝2k2＋1得k2＝1， k2

此时2＋1＝2k2＋1＝3，

k

故直线EG过点H(0，3)，当k2≠1时，

2

＋1－32k22k2＋1－3k2－1k－1

kEH＝＝，kGH＝＝，

k2k2k－0

－－0k

所以kEH＝kGH，E，H，G三点共线，所以直线EG过定点H(0，3)．

xMxN

xM，?，N?xN，?，直线EG的方程为y＝kx＋3，代入x2＝4y可得x2－4kx(2)设M?4?4???

2

2