已知
因为
上有界，从而存在则
,且使得
在上连续，则
在
由及夹逼定理知
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则
高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质 (18)求幂级数【解析】
的收敛域及和函数。
即
时，原幂级数绝对收敛 时，级数为
原幂级数的收敛域为又
，由莱布尼茨判别法显然收敛，故。
令则所以由于所以
，所以
所以幂级数的收敛域为，和函数为。
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式 (19)设为椭球面线平面与
上的动点，若在点处的切
面垂直，求点的轨迹,并计算曲面积分
,其中是椭圆球面位于曲线上方的部
分。 【解析】 求轨迹 令向量为
由切平面垂直又已知为椭球面
面，得
上的动点，所以
,故动点
的切平面的法
为的轨迹
再计算曲面积分 因为曲线在又对方程
面的投影为
两边分别对
求导可得
解之得
于是
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算
(20)设同的解 (I)求
；
.已知线性方程组存在2个不
(II)求方程组【解析】
的通解。
(I)因为已知线性方程组
存在2个不同的解，所以
故知当
时，
,
显然当
时，
，此时方程组无解，
舍去，
因为即，(II)
有解，所以，，
时，已知
所以
的通解为
其中为任意常数。
【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组有解的充分必要条件，非齐次线性方程组的通解 (21)已知二次型
,且的第三列为
(I)求矩阵； (II)证明【解析】 (I)二次型
在正交变换
下的标准形为。
是矩阵在特征
为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。
在正交变换
下的标准形为
，可知二次型矩阵的特征值是
又因为的第三列为值
的特征向量。
，可知
根据实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，设关于
的特征向量为
则取
,即
，
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