∴PD=OP+OD=2
6.（2019?河北）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心． （1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）
∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠BAC＝∠DAE
即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE ∴∠BAD＝∠CAE． （2）∵AD＝6，AP＝x， ∴PD＝6﹣x
当AD⊥BC时，APAB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值． （3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°， ∵AB⊥AC
∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α， ∵I为△APC的内心
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA， ∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA ∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA） ＝180°（∠PAC+∠PCA） ＝180°（90°﹣α+60°） α+105° ∵0＜α＜90°，
∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°， ∴m＝105，n＝150．
7.（2019?广州）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE． （1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．
解：（1）∵△ABC是等边三角形 ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上 ∴∠DFC＝∠C＝60° ∴∠DFC＝∠A ∴DF∥AB； （2）存在，
过点D作DM⊥AB交AB于点M， ∵AB＝BC＝6，BD＝4， ∴CD＝2 ∴DF＝2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上， ∴当点F在DM上时，S△ABF最小， ∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60° ∴MD＝2
∴S△ABF的最小值6×（22）＝66 ∴S最大值2×3（66）＝﹣36
（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE ∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60° ∵GD⊥EF，∠EFD＝60° ∴FG＝1，DGFG ∵BD2＝BG2+DG2， ∴16＝3+（BF+1）2， ∴BF1 ∴BG
∵EH⊥BC，∠C＝60° ∴CH，EHHCEC
∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°
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