考点二 常用逻辑用语
一、选择题
1．命题“?x>0，使2>3”的否定是( ) A．?x>0，使2≤3 C．?x≤0，使2≤3 答案 A
解析 全称(或特称)命题的否定是改量词，否结论．命题“?x>0，使2>3”的否定是“?x>0，使2≤3”，故选A.
2．命题“若整数a，b中至少有一个是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为( ) A．若整数a，b中至多有一个偶数，则ab是偶数 B．若整数a，b都不是偶数，则ab不是偶数 C．若ab不是偶数，则整数a，b都不是偶数 D．若ab不是偶数，则整数a，b不都是偶数 答案 C
解析 命题“若整数a，b中至少有一个是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为“若ab不是偶数，则整数a，b都不是偶数”，故选C.
3．已知命题p，q，则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 B
解析 充分性：若綈p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
xxxxxxxxxx
B．?x>0，使2≤3 D．?x≤0，使2≤3
xxxxp∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则綈p为假命题．所以“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件，故选B.
4．已知函数y＝f(x)是可导函数，则“函数y＝f(x)在x＝x0处有极值”是“f′(x0)＝0”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A
解析 函数y＝f(x)是可导函数，函数y＝f(x)在x＝x0处有极值?f′(x0)＝0，反之，不成立，如函数f(x)＝x，满足f′(0)＝0，但函数f(x)＝x在x＝0处没有极值，所以“函数y＝f(x)在x＝x0处有极值”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件，故选A.
5．命题“f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)·g(x)，若f(x)，g(x)均为奇
- 1 -
3
3
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
函数，则h(x)为偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A．0 C．2 答案 B
解析 由f(x)，g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如
B．1 D．3
h(x)＝x，f(x)＝2，g(x)＝x2＋1，h(x)是偶函数，但f(x)，g(x)都不是奇函数，故原命
x＋1
题的逆命题是假命题，其否命题也是假命题，只有其逆否命题是真命题，故选B.
π
6．(2019·山东济宁一模)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，6π
得到函数g(x)的图象，则“φ＝”是“g(x)为偶函数”的( )
6
A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 A
π?ππ?解析 由题意知g(x)＝sin?2x＋φ＋?，因为g(x)为偶函数，所以φ＋＝＋kπ(k3?32?ππ
∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)，所以“φ＝”是“g(x)为偶函数”的充分不必要条件，故选
66A.
7．(2019·山东聊城三模)若命题p：?x0∈R，x0－x0＋1≤0，命题q：?x<0，|x|>x.则下列命题中是真命题的是( )
A．p∧q C．(綈p)∧q 答案 C
1?23?解析 对于命题p，x2所以命题p是假命题，所以綈p是真命题；0－x0＋1＝?x0－?＋>0，2?4?对于命题q，?x<0，|x|>x，是真命题．所以(綈p)∧q是真命题．故选C.
8．(2019·四川蓉城名校联盟月考)以下命题中真命题的个数为( ) ①若命题p的否命题是真命题，则命题p的逆命题是真命题； ②若a＋b≠5，则a≠2或b≠3；
③若p：平行四边形是矩形，则綈p：平行四边形不是矩形； ④若?x∈[1,4]，x＋2x＋m>0，则m的取值范围是m>－24. A．1 C．3 答案 C
- 2 -
2
2
2
x2
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
B．2 D．4
解析 ①根据命题p的否命题与命题p的逆命题互为逆否命题，同真同假，故正确；②命题的逆否命题为若a＝2且b＝3，则a＋b＝5，显然正确，故原命题正确，故正确；③若p：平行四边形是矩形，则綈p：有些平行四边形不是矩形，而不是“平行四边形不是矩形”．其实命题p隐含着全称量词“所有”，另外p与綈p真假相反也是写命题否定的依据，故错误；④?x∈[1,4]，x＋2x＋m>0，则x＋2x＋m的最大值大于零即可，易知y＝x＋2x＋m在[1,4]上单调递增，所以ymax＝4＋2×4＋m＞0，即m>－24，故正确．故选C.
二、填空题
2
2
2
2
?π?9．(2019·安徽江淮十校第三次联考)若命题“?x∈?0，?，1＋tanx≤m”的否定是假
3??
命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [1＋3，＋∞)
?π?解析 因为命题的否定是假命题，故原命题为真，即不等式1＋tanx≤m对?x∈?0，?3???π?恒成立，又y＝1＋tanx在x∈?0，?为增函数，
3??
π
所以(1＋tanx)max＝1＋tan＝1＋3，即m≥1＋3.即实数m的取值范围是[1＋3，＋
3∞)．
10．命题“已知在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为________． 答案 已知在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角 解析 否命题同时否定条件和结论．
11．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”或“充要”填空)
答案 充分 充要
解析 由题知p?q?s?t，又t?r，r?q，故p是t的充分条件，r是t的充要条件． 12．已知p：|x＋1|>2，q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 由|x＋1|>2，解得x<－3或x>1，因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，所以q对应集合是p对应集合的真子集，即{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，由集合的运算可得a≥1.
三、解答题
13．已知命题p：－x＋16x－60>0，命题q：2
x－12
>0，命题r：关于x的不等式x－3axx＋1
- 3 -
＋2a<0，若r是p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，试求实数a的取值范围．
解 由－x＋16x－60>0得6 2 2 x－1 >0得x>1. x＋1 2 2 (1)当a>0，由x－3ax＋2a<0得，a 若r是p的必要不充分条件，则(6,10)(a,2a)，即5≤a≤6， ① 又r是q的充分不必要条件，则(a,2a)(1，＋∞)，即a≥1， ② 由①②得5≤a≤6. (2)当a＜0时， 由x－3ax＋2a<0 解得2a 而(6,10)(a,2a)不成立，(a,2a)(1，＋∞)也不成立，所以a不存在． (3)当a＝0时，x－3ax＋2a<0的解集为?，所以a不存在． 综上有5≤a≤6. 14．(2019·辽宁省鞍山一中一模)设a∈R，命题p：?x∈[1,2]，满足(a－1)x－1>0，命题q：?x∈R，x＋ax＋1>0. (1)若命题p∧q是真命题，求a的范围； (2)若(綈p)∧q为假，(綈p)∨q为真，求a的取值范围． 解 (1)若p为真，则? ??2 ??a－1<0， 或???1·a－1 ?a－1>0，? 2 2 2 2 2 a－1－1>0 －1>0， 2 3 解得a>； 2 若q为真，则a－4<0，解得－2 ∴若p∧q为真， 2 (2)由(綈p)∧q为假，(綈p)∨q为真?p，q同时为假或同时为真， 3??a≤， 若p假q假，则?2 ??a≤－2或a≥23??a>， 若p真q真，则?2 ??－2 ?a≤－2， 3 ? 3 综上所述，a≤－2或 2 - 4 -
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