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全国2018年4月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。
第一部分 选择题 (共28分)
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有
一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+n C. n-m
a11a21a12a=m，13a22a23a11a=n，则行列式11a21a21a12?a13等于（ ）
a22?a23 B. -(m+n) D. m-n
?100???2.设矩阵A=?020?，则A-1等于（ ）
???003??1??3 A. ?0??0??0120?0??0? ?1???
??1?B. ?0???0??1??2D. ?0??0??0120?0??0? ?1??3??1?00???3 C. ?010?? 1???00?2??
?00??1?0 3?01????3?12???3.设矩阵A=?10?1?，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）
????214? A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0 B. B?C时A=0 C. A?0时B=C D. |A|?0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+
λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ）
1
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A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解
B.
11η1+η2是Ax=b的一个解 22 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A) A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2， λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 B.|A|必为1 C.A-1=AT D.A的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.??23?? ?34? B.??34?? ?26??100??? C.?02?3? ???0?35? ?111???D.?120? ???102?第二部分 非选择题（共72分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分。 11516? . ?1?11??123?，B=???.则A+2B= . ?11?1???1?24?15.39253616.设A=?17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 2 …………………………………………………………精品自学考试资料推荐……………………………………………… 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r( 21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . ?0106??2?????23.设矩阵A=?1?3?3?，已知α=??1?是它的一个特征向量，则α所对应的特征值 ??????2108??2?为 . 24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） ?120??23?1???25.设A=?340?，B=?（2）|4A|. ?.求（1）ABT； ??240?????121?3110?5?13132?4. ?1?3?52126.试计算行列式 ?423???27.设矩阵A=?110?，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B. ????123???2??1??3??0?????????1?30?，α=??，α=??，α=??1?. 28.给定向量组α1=?234 ?2??2??4??0??????????4???1??9??3?试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。 ?1?2?1??24229.设矩阵A=??2?10??3332??6?6?. 23??34?0求：（1）秩（A）； （2）A的列向量组的一个最大线性无关组。 ?0?22???30.设矩阵A=??2?34?的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D. ???24?3?31.试用配方法化下列二次型为标准形 22?2x2 f(x1,x2,x3)=x12?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3， 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2. 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关。 3 …………………………………………………………精品自学考试资料推荐……………………………………………… 全国2018年4月高等教育自学考试 线性代数试题参考答案 课程代码：02198 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. ??337?? ??1?37?17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1 222?z224. z12?z3?z4 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） ?120??2?2?????25.解（1）ABT=?340??34? ??????121???10??86???=?1810?. ???310?（2）|4A|=43|A|=64|A|，而 12040??2. |A|=3?121所以|4A|=64·（-2）=-128 3110?5511?51210??1313125110?5?13131?1 0026.解 ?521?4?11??10?3?1 0?5=?11?55=?6?5?50?62?30?10?40. ?5?527.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而 4 …………………………………………………………精品自学考试资料推荐……………………………………………… ?223???（A-2E）-1=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?. ????164??1?4?3??423?????所以 B=(A-2E)-1A=?1?5?3??110? ??????164???123??3?8?6???=?2?9?6?. ????2129???2130??0?53?2?????1?30?11?30?1??? ???28.解一 ??0224??0112??????34?19??013?112??1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??03035??112? 011??000??1?0?????0??0002??101?, 011??000?所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3， ??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?2即 ?1 2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）. 29.解 对矩阵A施行初等行变换 ?1?2?1?000???A??032??0962??6?2? 8?2??3?2?2??8?3?=B. 3?1??00?002??1?2?10?1?2?1???0328?3?032?????????000?0006?2?????000?217??000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3. （2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是 B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。 （A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是） 5 …………………………………………………………精品自学考试资料推荐……………………………………………… 30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为 ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T. ?25/经正交标准化，得η=?5????5/5???，η?25/15??12=?45/15?. ?0????5/3??λ=-8的一个特征向量为 ?1??1/3?ξ3=??????2?，经单位化得η??2?3=???2/3?. ??2/3???25/5215/151/3?所求正交矩阵为 T=????5/545/152/3??. ?05/3?2/3???10对角矩阵 D=?0????010?. ?00?8???25/5215/151/3?（也可取T=???0?5/32/3??.） ?5/5?45/15?2/3??31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32 =（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32. ??y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2设??yx?2?2?x3， 即?y2?x2?y2?y3， ???y3?x3?x3?y3?因其系数矩阵C=?1?20???011??可逆，故此线性变换满秩。 ?001??经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 . 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E， 所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 . 33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0. （1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0， 即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0. 则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而所以η0，η1，η2线性无关。 6 l0=0 .
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