31．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均
E1G1为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，
的长分别为14cm和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm． 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中
部分的长度；
（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中
部分的长度．
32．（2016全国I）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为
正方形，AF?2FD，?AFD?90，且二面角D?AF?E与二面角C?BE?F都是60．
oo 9
（I）证明：平面ABEF?平面EFDC； （II）求二面角E?BC?A的余弦值．
33．（2016全国II）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB?5，AC?6，
5点E，F分别在AD，CD上，AE?CF?，EF交BD于点H．将ΔDEF沿EF
4折到ΔD?EF的位置，OD??10． （I）证明：D?H?平面ABCD； （II）求二面角B?D?A?C的正弦值．
34．（2016全国III）如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，ADPBC，
AB=AD?AC?3，PA?BC?4，M为线段AD上一点，AM?2MD， N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MNP平面PAB；
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
10
PNABCMD
35．（2014山东）如图，四棱锥P?ABCD中，AP?平面PCD，AD∥BC，
AB?BC?1AD,E,F分别为线段AD,PC的中点. 2
（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF； （Ⅱ）求证：BE?平面PAC.
36．(2014江苏)如图，在三棱锥P?ABC中，D，E，F分别为棱PC,AC,AB的中点．已知
PA?AC，PA?6,BC?8,DF?5.
PDAFBEC
求证：（Ⅰ）直线PA∥平面DEF；
（Ⅱ）平面BDE?平面ABC．
37．（2014新课标Ⅱ）如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
E为PD的中点．
11
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D?AE?C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E?ACD的体积．
38．（2014天津）如图四棱锥P?ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA?BD?2，
AD?2,PA?PD?5,E,F分别是棱AD,PC的中点．
（Ⅰ）证明: EF∥平面PAB； （Ⅱ）若二面角P?AD?B为60°， （ⅰ）证明：平面PBC⊥平面ABCD
（ⅱ）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
PFCDEBA
39．（2013浙江）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥面ABCD，AB?BC?2，
AD?CD?7，PA?3，?ABC?120o，G为线段PC上的点．
PGBADC（Ⅰ）证明：BD⊥面APC ；
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