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22．（10分）如图，已知反比例函数y=（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y=﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据待定系数法，将点的坐标分别代入两个函数的表达式中求出待定系数，可得答案；
（2）利用△AOP的面积减去△AOQ的面积．
【解答】解：（1）反比例函数y=（ m≠0）的图象经过点（1，4）， ∴
，解得m=4，故反比例函数的表达式为
，
一次函数y=﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n）， ∴
，解得
，
∴一次函数的表达式y=﹣x﹣5； （2）由
，解得
或
，
∴点P（﹣1，﹣4），
在一次函数y=﹣x﹣5中，令y=0，得﹣x﹣5=0，解得x=﹣5，故点A（﹣5，0）， S△OPQ=S△OPA﹣S△OAQ=
=7.5．
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标问题，（1）用待定系数法求出函数表达式是解题的关键，（2）转化思想是解题关键，将三角形的面积转化成两个三角形的面积的差．
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23．（10分）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD，CE⊥AD于点E．
（1）求证：直线EC为圆O的切线；
（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值．
【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）说明OC是△BDA的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从而得到CE是圆O的切线．
（2）利用直径上的圆周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，从而得到PC=PE=5．然后求出sin∠PEF的值． 【解答】解：（1）证明：∵CE⊥AD于点E ∴∠DEC=90°， ∵BC=CD，
∴C是BD的中点，又∵O是AB的中点， ∴OC是△BDA的中位线， ∴OC∥AD
∴∠OCE=∠CED=90°
∴OC⊥CE，又∵点C在圆上， ∴CE是圆O的切线． （2）连接AC
∵AB是直径，点F在圆上 ∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA ∵∠EPF=∠EPA ∴△PEF∽△PEA ∴PE2=PF×PA
∵∠FBC=∠PCF=∠CAF 又∵∠CPF=∠CPA
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∴△PCF∽△PAC ∴PC2=PF×PA ∴PE=PC
在直角△PEF中，sin∠PEF=
=．
【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点．利用三角形相似，说明PE=PC是解决本题的难点和关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
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（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1﹣﹣y0）m2﹣（2﹣2x0﹣2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1=4a，解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2=x2﹣x+1． （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：，，
∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）． ∵点B（4，1），直线l为y=﹣1， ∴点B′的坐标为（4，﹣3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB′的解析式为y=﹣当y=﹣1时，有﹣解得：x=
，
x+，
x+=﹣1，
∴点P的坐标为（，﹣1）．
（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴（m﹣x0）2+（n﹣y0）2=（n+1）2， ∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0n+y02=2n+1．
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