《概率论与数理统计》(复旦大学出版社)第二章知识题目解析

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Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=(

1k), k=1,2,…,令 2?1,当X取偶数时 Y????1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律. 【解】P(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)??P(X?2k)?

111?()2?()4??()2k?222

111?()/(1?)?443

2P(Y??1)?1?P(Y?1)?

330.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

x当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny)

??lny??fX(x)dx

dFY(y)111?ln2y/2?fx(lny)?e,y?0 故 fY(y)?dyyy2π(2)P(Y?2X?1?1)?1

当y≤1时FY(y)?P(Y?y)?0

2当y>1时FY(y)?P(Y?y)?P(2X?1?y)

2 .

?P?X? ???2?y?1?y?1?P??X????2?2?y?1? ??2??(y?1)/2?(y?1)/2fX(x)dx

?y?1??y?1???????fX???2??? 2??????d1FY(y)?故 fY(y)?dy4 ?(3) P(Y?0)?1

2??fXy?1??1221?(y?1)/4e,y?1

y?12π当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y) ?故fY(y)??y?yfX(x)dx

dFY(y)?fX(y)?fX(?y) dy?2?y2/2e,y?0 2π31.设随机变量X~U（0,1），试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=

2lnX的分布函数及密度函数.

【解】（1） P(0?X?1)?1

故 P(1?Y?e?e)?1

X当y?1时FY(y)?P(Y?y)?0

X当1

??lny0dx?lny

X当y≥e时FY(y)?P(e?y)?1

即分布函数

.

y?1?0,?FY(y)??lny,1?y?e

?1,y?e?故Y的密度函数为

?11?y?e? fY(y)??y,?0,其他?（2） 由P（0

P(Z?0)?1

当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0

当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z)

?P(lnX??)?P(X?e ?即分布函数

z2?z/2)

?1?z/2edx?1?e?z/2

z?0?0, FZ(z)??-z/21-e,z?0?故Z的密度函数为

?1?z/2?e,z?0fZ(z)??2

?z?0?0,32.设随机变量X的密度函数为

?2x?,0?x?π,f(x)=?π2

?其他.?0,试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1

当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

.

当0

?P(0?X?arcsiny)?P(π?arcsiny?X?π)

π2x2xdx??0π2?π?arcsinyπ2dx

1122 ?2（arcsiny）?1-2（π-arcsiny）ππ2 ?arcsiny

π ?arcsiny当y≥1时，FY(y)?1 故Y的密度函数为

1?2,0?y?1?π2fY(y)?? 1?y?0,其他?33.设随机变量X的分布函数如下：

?1,?F(x)??1?x2??(2),试填上(1),(2),(3)项.

【解】由limF(x)?1知②填1。

x??x?(1)x?,

(3).F(x)?F(x0)?1知x0?0，故①为0。 由右连续性lim+x?x0从而③亦为0。即

?1,x?0?2 F(x)??1?x?x?0?1,34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=

次抛掷出现6点}。则

1.且A1与A2相互独立。再设C={每6P(C)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2)