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111111 ????66663611 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。
36 ?35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则
X~b(n,0.1)
0nP(X?1)?1?P(X?0)?1?C0n(0.1)(0.9)?0.9
即 (0.9)?0.1
n得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知
??0,?1?F（x）=?x?,2??1,??则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.
x?0,10?x?,
21x?.2（A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型.
【解】因为F（x）在（∞,+∞）上单调不减右连续，且limF(x)?0
x???x???limF(x)?1,所以F（x）是一个分布函数。
但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）
37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b]
.
等于（ ）
(A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [π/2,0]; (D) [0,
3π]. 2π/2π【解】在[0,]上sinx≥0，且?sinxdx?1.故f(x)是密度函数。
02在[0,π]上在[??π0sinxdx?2?1.故f(x)不是密度函数。
π,0]上sinx?0，故f(x)不是密度函数。 233在[0,π]上，当π?x?π时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。
22故选（A）。
38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为X~N(0,?),P(1?X?3)?P(21?3?X??3?)
??(利用微积分中求极值的方法，有
?1)??()令g(?)
?g?(?)?(?3?311??)?()??() 22?????
3?212??1?9/2?21e?2?2?21?1/2?2e2?2??1/2??8/2?e[1?3e]?02令
得?0?224,则 ?0? ln3ln3又 g??(?0)?0 故?0?2为极大值点且惟一。 ln32时X落入区间（1，3）的概率最大。 ln3故当??39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物
.
品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.
e???m,m?0,1,2,【解】P(X?m)?m!
设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即
km?kP(Y?k|X?m)?Ck,k?0,1,mp(1?p),m
由全概率公式有
P(Y?k)??P(X?m)P(Y?k|X?m)
m?k?e???mkk??Cmp(1?p)m?km!m?k??e ?e??m?k???k!(m?k)!p(?p)kk!???mk(1?p)m?k
[?(1?p)]m?k?(m?k)!m?k(?p)k???(1?p)?eek!(?p)k??p?e,k?0,1,2,k!此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.
40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1
匀分布.
【证】X的密度函数为
e
2X在区间（0，1）上服从均
?2e?2x,x?0fX(x)??
0,x?0?由于P（X>0）=1，故0<1当y≤0时，FY（y）=0
e
2X<1，即
P（0 . 当y≥1时，FY（y）=1 ?2x当0 1?P(X??ln(1?y))2 ??即Y的密度函数为 1?ln(1?y)202e?2xdx?y?1,0?y?1 fY(y)??0,其他?即Y~U（0，1） 41.设随机变量X的密度函数为 ?1?3,0?x?1,??2f(x)=?,3?x?6, ?9其他.?0,??若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P（X≥k）= 12知P（X 33若k<0,P(X 1k1dx??033?3 1 当k=1时P（X 311k1若1≤k≤3时P（X 031311k2211若3 0339933若0≤k≤1,P(X k若k>6,则P（X 故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=42.设随机变量X的分布函数为 2. 3
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