第十三篇：极坐标与参数方程
一、填空题
1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线?cos???sin??a(a?0)与圆?=2cos?相切，
则a=__________．
??x??1??222.【2018天津卷12】)已知圆x?y?2x?0的圆心为C，直线??y?3???与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为 .
二、解答题
2t,2(为参数)
t2t21.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2?cos??3?0.
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
2?x?2cosθ，2.【2018全国二卷22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（θ为参数），
?y?4sinθ直线l的参数方程为
?x?1?tcosα，（t为参数）． ?y?2?tsinα?（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
?x?cos?，⊙O的参数方程为?3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy中，（?为参数），
y?sin??过点0，?2且倾斜角为?的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求?的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
??π4.【2018江苏卷21C】在极坐标系中，直线l的方程为?sin(??)?2，曲线C的方程为
6??4cos?，求直线l被曲线C截得的弦长．
参考答案 一、填空题 1.1?2 2.
1 2二、解答题
1.解： （1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为(x?1)2?y2?4．
（2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与
C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两
个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|?k?2|k?12?2，故
4k??或k?0．
3经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??与C2有两个公共点．
4时，l1与C2只有一个公共点，l23当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以或k?|k?2|k?12?2，故k?04． 34时，l2与C2没有公共点． 3经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?综上，所求C1的方程为y??4|x|?2． 3x2y2??1． 2.解：（1）曲线C的直角坐标方程为
416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则
t1?t2?0．
4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0， 21?3cos?又由①得t1?t2??于是直线l的斜率k?tan???2．
3.解：（1）O的直角坐标方程为x2?y2?1．
当???时，l与O交于两点． 2?时，记tan??k，则l的方程为y?kx?2．l与O交于两点当且仅当2当??|?????|?1，解得k??1或k?1，即??(,)或??(,)．
42241?k22综上，?的取值范围是(,???)． 44?????x?tcos?,(t为参数，???)． （2）l的参数方程为?44??y??2?tsin?设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP?． t2?22tsin??1?0于是tA?tB?2tA?tB，且tA，tB满足2y)，tP?2sin?．又点P的坐标(x,满足2s?in??x?tPco?s, ?in??y??2?tPs?.?2x?sin2?,?????2(?为参数，???)． 所以点P的轨迹的参数方程是?44?y??2?2cos2???224.解：因为曲线C的极坐标方程为?=4cos?，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
π因为直线l的极坐标方程为?sin(??)?2，
6则直线l过A（4，0），倾斜角为
π， 6所以A为直线l与圆C的一个交点． 设另一个交点为B，则∠OAB=
π． 6π， 2连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=
所以AB?4cosπ?23． 6因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．
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