三、证明
?(0)?E(0)?E(1)?(0)nH?nnn(1)(1)(2)?(0)1. 在无简并的微扰论中，证明?(0)?E(0)nH?n??nn?En?En
(1)?(1)(1)E(3)n??nW-En?n2. 一维运动的体系,定义从|m>态跃迁到|n>态相应的振子强度为
fnm?2m?nmnxm/? , m是粒子质量，求证：?fnm?1
n23. 设体系在t=0时处于基态|0>，若长时间加上微扰
?(x,t)?F?(x)exp(-t/W?), 证明该体系处于另一能量本征态|1>的概率为
?10F2222(E1-E0)??/?
四、综合题
1. 一根长度为d质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动，棒的质量为M. 在棒的两端分别有电荷+Q和-Q. (1) 写出体系的哈密顿量、本征函数和本征值；
(2) 如果在转动平面内存在一电场强度为E的弱电场，准确到一级修正，它的本征函数和能量如何变化？
(3) 如果这个电场很强，求基态的近似波函数和相应的能量值. 2. 对于一个球形核来说，可以假定核子处在一个半径为R的球对称势阱中，势场是V???0 (r?R) .相应地，对发生微小形变的核，可
?? (r?R)以认为核子处在椭球形势阱中，势壁高仍为无限大，即势场是
?0 (在(x2?y2)/b2?z2/a2?1内)Vel??， 其中a≈R(1+2β/3), b≈R(1-β/3)，且
? （其他地方）?β<<1，利用微扰论，准确到一级近似，求椭球形核相对于球形核
基态能量的变化.(提示：作变量代换，将椭球形势阱化成球形势阱后再讨论微扰影响.)
3. 一个量子体系由哈密顿量H=H0+H'描述，其中H'＝iλ[A,H0]是一个加在非微扰哈密顿量H0上的微扰，A是个厄米算符，λ是个实数.设B是另一个厄米算子，而且C=i[B,A].
(1) 已知A、B、C在无微扰(非简并)基态的平均值为0、0、
?pi2122?(2) 将这个结果用到如下三维问题上：H0????m?xi??2m2?, H'??x3. i?1??3计算xi在基态的平均值
4. 把处在基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z轴方向. 电场沿z轴方向，可视为均匀电场. 设电容器突然充电，然后放电，电场随时间的变化是?(t)??(t?0)?0 -t/? (?为常数).求时间充??0e (t?0)分长后，氢原子跃迁到2s态和2p态的概率. 5. 考虑势U=g|x|的能级.
(1) 用量纲分析，推导本征值和参数(质量m、?、g)的关系； (2) 用尝试波函数φ=Cθ(x+a) θ(a-x)(1-|x|/a)对基态能量作变分计算
??0 (x?0)??这里C、a是复数，?(x)???; ???1 (x?0)??(3) 为什么φ=Cθ(x+C) θ(a-x)不是一个好的尝试波函数？ (4) 如果要求第一激发态能量，你将如何处理？
6. 一个质量为m的粒子在汤川势U(r)= -λe-μr/r中运动，用变分法，取尝试波函数φ＝e-ar，问λ的临界值λ0等于多少时，能使得λ<λ0无束缚态，λ>λ0有束缚态？
7. 介子一般可看成夸克和反夸克(q q)的束缚态. 考虑s态介子，设夸克质量为mq，束缚q和 q的势U=A/r+Br，A<0，B>0.
(1) 选用类似于氢原子基态波函数的φ＝e-r/a作为尝试波函数，用变分法求基态能量(在用变分法决定a的方程中，可近似取A＝0来简化计算).
(2) 用不确定性原理估算基态能量，并和变分法的结果(1)比较.
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