限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1．(2018·聊城二模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A．y＝x3 B．y＝ln(－x) C．y＝xe
－x
2
D．y＝x＋
x
解析：选D.由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数；A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)；D选项中的函数既为奇函数又存在极值．
2．(2018·南京模拟)函数f(x)＝x2－5x＋2ex的极值点所在的区间为( ) A．(0，1) C．(1，2)
B．(－1，0) D．(－2，－1)
解析：选A.∵f′(x)＝2x－5＋2ex为增函数，f′(0)＝－3＜0，f′(1)＝2e－3＞0， ∵f′(x)＝2x－5＋2ex的零点在区间(0，1)上，∴f(x)＝x2－5x＋2ex的极值点在区间(0，1)上．
3．(2018·南昌调研)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值 解析：选C.当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0， ∴x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)＜0， 当x＞1时，f′(x)＞0，
∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.
4．(2018·佛山调研)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是( )
解析：选D.因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.
5．(2018·山东临沂模拟)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝ln x
?1???a＞－ax2?，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a＝( ) ?
1A. 41C. 2
1B．
3D．1
解析：选D.因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0，2)上的最大值为－1.当x∈(0，11111
2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0，得x＝，又a＞，所以0＜＜2.当x＜时，f′(x)
xaaa2
??1?1?1
＞0，f(x)在?0，a?上单调递增；当x＞时，f′(x)＜0，f(x)在?a，2?上单调递减，所
a?????1?
以f(x)max＝f?a?
??
11
＝ln －a·＝－1，解得a＝1.
aa
6．(2018·南通调研)已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为________． 2f′（1）解析：因为f′(x)＝－1，所以f′(1)＝2f′(1)－1，所以f′(1)＝1，故f(x)
x2－x2
＝2ln x－x，f′(x)＝－1＝，则f(x)在(0，2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减
xx函数，所以当x＝2时f(x)取得极大值，且f(x)极大值＝f(2)＝2ln 2－2.
答案：2ln 2－2
7．(2018·大同模拟)f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
解析：f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0?c＝2或c＝6，若22
c＝2，f′(x)＝3x－8x＋4，令f′(x)＞0?x＜或x＞2，f′(x)＜0?＜x＜2，故函数
33
2
?2??2?
???在－∞，3及(2，＋∞)上单调递增，在3，2?上单调递减，所以x＝2是极小值????
点，故c＝2(不合题意，舍去)，c＝6.
答案：6
8．(2018·遵义模拟)不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为________．
解析：(1)不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为f(x)＝ex－kx≥0恒成立，即有f(x)min≥0，
由f(x)的导数为f′(x)＝ex－k，
当k≤0时，ex＞0，可得f′(x)＞0恒成立，f(x)递增，无最值；
当k＞0时，x＞ln k时f′(x)＞0，f(x)递增；x＜ln k时f′(x)＜0，f(x)递减． 即在x＝ln k处取得最小值，且为k－kln k，
由k－kln k≥0，解得k≤e，即k的最大值为e. 答案：e
ax2＋bx＋c
9．已知函数f(x)＝(a＞0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
ex(1)求f(x)的单调区间．
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值． （2ax＋b）ex－（ax2＋bx＋c）ex
解：(1)f′(x)＝ x2
（e）－ax2＋（2a－b）x＋b－c＝，
ex令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为ex＞0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．
又因为a＞0，所以－3＜x＜0时， g(x)＞0，即f′(x)＞0，
当x＜－3或x＞0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，
所以f(x)的单调增区间是(－3，0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有
?9a－3b＋c＝－e，?e
?g（0）＝b－c＝0，
?
?g（－3）＝－9a－3（2a－b）＋b－c＝0，
3
－3
解得a＝1，b＝5，c＝5，
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