54分专项练(六) 18、19、20、21
（a＋c－b）·sin A1．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝ac.
sin C5π
(1)若C＝，c＝3，求a；
6(2)若4S△ABC＋c＝2a，求B的大小．
2．已知等比数列{an}是递减数列，a1a4＝3，a2＋a3＝4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2
1
3．如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝60°，
2
n－2
2
2
2
2
2
an＋1＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.
AA1⊥平面ABCD.
- 1 -
(1)若点M是AD的中点，求证：C1M∥平面AA1B1B；
1
(2)棱BC上是否存在一点E，使得二面角E-AD1-D的余弦值为？若存在，求线段CE的长；
3若不存在，请说明理由．
4．法国数学家亨利·庞加莱(Jules Henri Poincar
)是个每天都会吃面包的人，他经
常光顾同一家面包店，面包师声称卖给庞加莱的面包平均重量是1 000 g，上下浮动50 g．在庞加莱眼中，这用数学语言来表达就是：面包的重量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布．
(1)假如面包师没有撒谎，现庞加莱从该面包店任意买2个面包，求其质量均不少于1 000g的概率；
(2)出于兴趣或一个偶然的念头，庞加莱每天将买来的面包称重并记录，得到25个面包质量(X)的数据(单位：g)如下：
983 968 952 972 998 959 966 1 001 987 992 1 006 1 011 1 010 957 1 000 1 008 950 997 954 969 961 952 971 969 975 设从这25个面包中任取2个，其质量不少于1 000 g的面包数记为η，求η的分布列和E(η)；
－
(3)庞加莱计算出这25个面包质量(X)的平均值X＝978.72 g，标准差是20.16 g，认定面包师在制作过程中偷工减料，并果断举报给质检部门，质检员对面包师做了处罚，面包师也承认自己的错误，并同意做出改正．
庞加莱在接下来的一段时间里每天都去这家面包店买面包，他又认真记录了25个面包的质量，并算得它们的平均值为1 002.6 g，标准差是5.08 g，于是庞加莱又一次将面包师举报了．
请你根据两次平均值和标准差的计算结果及其统计学意义，说说庞加莱又一次举报的理由．
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54分专项练(六) 18、19、20、21
2
2
2
1．解：(1)由（a＋c－b）·sin Asin C＝ac及正弦定理，
2
2
2可得（a＋c－b）ac＝ac，
所以a2＋c2－b2＝c2，故a2＝b2
，即a＝b，故A＝B＝π12
.
3×6－2由正弦定理acc·sin A436－32
sin A＝sin C，得a＝sin C＝1＝2. 2
(2)因为4S2
2
＋c2
2
△ABC＋c＝2a，所以2absin C＝2a， 由余弦定理得2absin C＋a2
＋b2
－2abcos C＝2a2
. 由(1)知a＝b，故sin C＝cos C，即tan C＝1，故C＝π
4.
又a＝b，故B＝A＝3π
8
. 2．解：(1)设等比数列{a的公比为q，则???a1a4＝a2a3＝3，
n}??
a2＋a3＝4，
解得?
??a2＝1，??a2＝3，
??a3＝3
或?
?a所以q＝3或1
，
?3＝1，
3??a1?a1＝9，即?
1＝3，或?
???q＝3??q＝13
. 又因为数列{a1
n}是递减数列，所以a1＝9，q＝3. 故数列{a3－nn}的通项公式为an＝3
.
n－2
(2)由(1)得bn－2
2－nn＝2×3＋n＝??2?3???
＋n，
- 3 -
3??2?n????2?1－??3??n（n＋1）99?2?nn＋n2
故Tn＝＋＝－??＋.
2222?3?21－3
1
3．解：(1)证明：连接B1A，由已知得B1C1∥BC∥AD，且B1C1＝AM＝BC，所以四边形AB1C1M2是平行四边形，所以C1M∥B1A.
又因为C1M?平面AA1B1B，B1A?平面AA1B1B， 所以C1M∥平面AA1B1B.
(2)取BC中点Q，连接AQ，AC.因为ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，所以AQ⊥BC，即AQ⊥AD.又由于AA1⊥平面ABCD，所以以A为原点，AQ，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．
则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，D1(0，1，1)，Q(3，0，0)． 假设点E存在，设点E的坐标为(3，λ，0)，－1≤λ≤1. →→
所以AE＝(3，λ，0)，AD1＝(0，1，1)． 设平面AD1E的法向量n＝(x，y，z)，
→??n·AE＝0，?3x＋λy＝0，
则?即?可取n＝(λ，－3，3)．
→y＋z＝0，???n·AD1＝0，→
易知平面ADD1的法向量为AQ＝(3，0，0)， →
所以|cos〈AQ，n〉|＝13＝，解得λ＝±. 2
23λ＋633|λ|
又由于二面角E-AD1-D为锐角，由图可知，点E在线段QC上， 所以λ＝33
，即CE＝1－. 22
4．解：(1)由已知可得庞加莱从该面包店购买任意一个面包，其质量不少于1 000 g的1
概率为，设庞加莱从该面包店购买2个面包，其质量不少于1 000 g的面包数为ξ，由已知
21?1?2?1?可得ξ～B?2，?，故P(ξ＝2)＝C2??＝.
?2??2?4
(2)25个面包中，质量不少于1 000 g的有6个，则η的可能取值为0，1，2，
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2
C1917157C6C1911419
P(η＝0)＝2＝＝；P(η＝1)＝2＝＝；
C25300100C2530050C6151
P(η＝2)＝2＝＝，
C2530020所以η的分布列为 2
211
η P 0 57 1001 19 502 1 2057191所以E(η)＝0×＋1×＋2×＝0.48.
1005020
(3)庞加莱经过仔细思考，认为标准差代表了面包重量的误差，可以理解成面包师手艺的精度，这个数字在短时间内很难改变，但由题意可知第一次与第二次的标准差相差较大，显然并不合理，庞加莱断定只能是随机性出现了问题．也就是面包的来源不是随机的，而是人为设定的，最大的可能就是每当庞加莱到来时，面包师从现有面包中挑选一个较大的给了庞加莱，而面包师的制作方式根本没有改变．面包质量的平均值从978.72 g提高到了1 002.6 g也充分说明了这一点．
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