初中数学竟赛辅导资料 分子为1的等式关系的证明

初中数学竞赛辅导资料

型如??的证明

甲内容提要 型如

1a1b1c111??的证明,通常是证明它的等价命题 abc第一种 转化为线段的比例式

111cccb?ca?bb?????1(1)??(2)??(3) abcababac（1） 可证

mncb, 和两个同分母的分式分别相等，例如,

ppaa 当m+n=p 时等式成立

（2）可证明 c,a,b－c,b 四条线段成比例，关鍵是作出b－c的差 （3）可证明 a+b,a,b,c四条线段成比例，关鍵是作出a+b的和 第二种 转化为线段的乘积式

111???bc+ac=ab(4) abc(4) 常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积 乙例题

例1. 已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，O是AC和BD的交点，

OE∥AB交BC于有E DC111 ??ABCDOE111OEOE分析：????1 ?ABCDOEABCDAOEOECEBE证明，分别和，相等即可（下略）

ABCDBCBC求证：例2. 求证：

OEB已知：在△ABC中，∠ACB＝120?，CD是角平分线

E111 ??CACBCD分析一：

C111CA?CBCB??? ?CACBCDCACDADB延长AC到E，使CE＝CB，可证△BCE为等边，BE∥CD

C分析二：

111CDCB?CD＝ ???CACBCDCACBADEB在CB上截取CE＝CD，

可证△CDE为等边三角形，DE∥CA 分析三：

111???CA×CD＋CB×CD＝CA×CB CACBCD可由S△CAD＋S△CBD＝S△CAB证得 证明：∵S△CAD＋S△CBD＝S△CAB ∴

111CA×CDSin∠ACD＋CB×CDSin∠BCD=CA;x CBSin∠ACB 222C∵Sin120?=Sin60?,

∴CA×CD＋CB×CD＝CA×CB ∴

111 ??CACBCD例3. 求证：

ADB已知：△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶4

1?AB1分析：?AB11 ?ACBC11BCBCBCAC?BC ???1???ACBCABACABACBCAD在AC上取CD＝BC，证明 即可，要创造相似三角形，?ABAC作角平分线CE，连结DE，得△ACE∽△ABC，再证CE＝DE＝AD 证明：在AC上取CD＝BC，作角平分线CE，连结DE

C显然△CDE≌△CBE，∠DCE＝∠BCE＝2α ∠CDE＝∠B＝2α，

D∵∠A＝α，∴∠DEA＝α

∴CE＝ED＝DA

AE∵△ACE∽△ABC，

BCEACADACAC?CDAC，, ???BCABBCABBCABAC?BCAC, ?BCABAC?BCBCBCBC??, 1 －

ACABACAB111∴ ??ABACBC∴

例4. 已知：点C和点D分别内分、外分线段AB为同一个比 即AC∶CB＝AD∶DB＝κ（称C，D调和分割AB）

112 ??ABACADABC112ABAB分析： ????2 ?ACADABACADABAB ?1?1??

ACADAB?ACAD?AB ??

ACADCBDB ??ACADACAD＝κ ??CBDB 求证：

D（证明步骤是分析的倒逆）

例5. 如图已知：△ABC中，BC＝a,高AD＝h,内接正方形EFGH边

长为m

111?? ahm111分析：???hm+am=ah, 可用面积公式证 ahm 求证：

证明：∵S△AEF＋S梯形EFGH＝S△ABC

A111∴EF?AK?(EF?BC)HE?BC?AD 222即 m(h-m)+(m+a)m=ah, mh+ma=ah 两边除以ahm, 得

EKF111?? ahmBHDGC丙练习42

1. 四边形ABCD中，∠A＝∠C＝Rt∠，P是BD上的一点，PM⊥AB， PN⊥CD，M，N是垂足，求证：

MPNP??1 ADBC111 ??BCCADE2. △ABC中，CD是角平分线，DE∥BC交AC于E，则

3. 经过平行四边形ABCD的顶点D的一直线交BC于M，交AB的延长

线于N，求证

BCAB??1 BMBN4. 已知：△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC

求证：（1∶S△BAE）＋（1∶S△BEC）＝1∶S△BED

5. △ABC中，∠C＝60?，角平分线CD＝t, 求证

113?? abt6. △ABC内一点P，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，D，E，F是垂足，设

a,b,c 边上的高分别为ha,hb,hc求证

PDPEPF???1 hahbhc7. 已知2a=7b=14c 求证

1　11?? abc8. 已知：直线y=bx+c (b ≠0), 与抛物线y=ax2（a≠0） 有两个交点，

与横轴有一个交点，它们的横坐标分别为x1,x2,x3 且b2-4ac>0

求证：

111?? 　x1x2x39. Rt△ABC斜边上的高CD＝h，那么

111 ??a2b2h2A10. 过△ABC内一点P分别作三边的平行线DE∥BC，FG∥AB，HK∥AC

BFCEAK求证：①???1

BCCAABDEFGHK ②???2

BCABAC11. 在等边△ABC外接圆的弧BC上取点P

111BPA交BC于M，求证 ??PBPCPM求证

KDPFHGEC12. PA，PB切⊙O于A，B，直线PO交⊙O于M，N，交AB于C

112 ??PMPNPC112?? RrdAR13. 已知半径分别为R，r 的⊙O和⊙O1外切于P，点P到外公切线AB的

距离为d, 则

11

B

A13CdBrPO1OMPC练习42

4.利用等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比 1. S△ABC＝

1abSinC 2PDPD?BC?…… haha?BC11b??? x1x2c2. 连结PA，PB，PC由

8. x1,x2是方程bx+c=ax2 的两个根，由韦达定理得且x3是bx+c=0的根……

9. 射影定理 11.用S△PBM＋S△PCM＝S△PBC

12. AM，AN是△PAC的内，外角的平分线。