八、高等数学试题 2005/1/10
一、填空题（本题20分，每小题4分）
?x?a?1．已知lim???9，则a?
x???x?a??2?，x?12．设函数f(x)??1?x2，当a= ,b= 时，f(x)在x=1处可导。
??ax?b，x?13．方程x?x?1?0共有 个正根。
4．当x? 时，曲线y?ax2?bx?c的曲率最大。
?7x5．
?02xsinxdx? 。
二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）
1．下列结论中，正确的是（ ）
（A）若limx2n?a，limx2n?1?a，则limxn?a；
n??n??n??（B）发散数列必然无界；
（C）若limx3n?1?a，limx3n?1?a，则limxn?a；
n??n??n??（D）有界数列必然收敛。
2．函数f(x)在x?x0处取得极大值，则必有（ ）。 （A）f?(x0)?0； （B）f??(x0)?0；
（C）f?(x0)?0或f?(x0)不存在； （D）f?(x0)?0且f??(x0)?0。 3．函数F(x)??af(t)dt在[a，b]上可导的充分条件是：f(x)在[a，b]上（ ）
??x（A）有界； （B）连续； （C）有定义； （D）仅有有限个间断点。
sinx42(sin3x?cos4x)dx，P?2(x2sin3x?cos4x)dx，则必有关系式cosxdxN?4．设M??2，???????2?1?x222（ ）
（A） N?P?M；（B）N?M?P；（C）M?P?N；（D）P?M?N。
5．设y?f(x)在x?x0的某邻域内具有三阶连续导数，如果f?(x0)?f??(x0)?0，而f???(x0)?0，则必有（ ）。
（A）x0是极值点，(x0，f(x0))不是拐点； （B）x0是极值点，(x0，f(x0))不一定是拐点； （C）x0不是极值点，(x0，f(x0))是拐点； （D）x0不是极值点，(x0，f(x0))不是拐点。
?x?3y?4z??与平面?：4x?2y?2z?3的位置关系是（ ） ?2?73（A）L与?平行但L不在?上； （B）L与?垂直相交； （C）L在?上； （D）L与?相交但不垂直。
6．直线L：6．微分方程y???5y??6y?xe2x?e3x的特解形式为（ ）
(A)y*?x(ax?b)e2x?cxe3x； （B）y*?ae2x?b(x?c)e3x；
（C）y*?(ax?b)e2x?ce3x； (D) y*?(ax?b)e2x?cxe3x 三、计算下列各题（每小题7分，共28分） 1．计算
?04x?22x?1dx.
2．求
?xdx 2x?4x?5?x?ln(1?t2)d2y3．设?，求。 2dx?y?t?arctant4．求lim?x?x2ln(1??x???1?)?。 x?四、解答下列各题（每小题7分，共21分）
1．在半径为R的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值。
x2y22．计算由椭圆2?2?1所围成的图形的面积以及此图形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积。
ab3*．在由平面2x?y?3z?2?0和平面5x?5y?4z?3?0所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点M0(4,?3,1)。
3．在曲线上每一点M(x,y)处切线在y轴上的截距为2xy2，且曲线过点M0(1,2)。求此曲线方程。
11五、（7分）设函数f(x)在?0，3?上连续，在（0，3）内可导，且有?xf(x)dx?f(3)。试证：必有??(?0,3)使
30f?(?)??f(?)?。
答案 一、1.ln3；2.a=-1,b=2；3.1；4.?b；5.1. 2a二、1.A；2.C；3.B；4.D；5.C；6.A.
22111?t22三、1.；2.ln(x?4x?5)?2arctan(x?2)?C；3.；4..
3224t四、1. H?13R,r?44?6R；2.?ab2； R，Vmax?3333九、高等数学试题 2006/1/10
一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是[ ]
（A）有界数列必收敛； （B）单调数列必收敛；（C）收敛数列必有界；（D）收敛数列必单调。 2.设函数f(x)在U(x0，?)内有定义，对于下面三条性质：
① f(x)在x0点连续；② f(x)在x0点可导；③f(x)在x0点可微. 若用“P ? Q”表示由性质P推出性质Q，则应有[ ]
(A) ②?③?①；(B) ②?①?③；(C)③?①?②； (D) ①?②?③。 3.曲线y?x[ ] 3?x(A)既有水平渐近线，又有垂直渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有垂直渐近线；(D)无任何渐近线。
4.设函数 f(x)在[a,b]上有定义，则
?baf(x)dx存在的必要条件是[ ]
(A) f(x)在[a,b]上可导；(B) f(x)在[a,b]上连续；(C) f(x)在[a,b]上有界；(D) f(x)在[a,b]上单调。 5. y = y(x)是微分方程y? + 3y?=e2x的解，且y?(x0) = 0，则必有[ ] (A) y(x)在x0某邻域内单调增加； (B) y(x)在x0某邻域内单调减少； (C) y(x)在x0取极大值；(D) y(x)在x0取极小值.
6.若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数是[ ]
(A) 1?sinx; (B) 1?sinx; (C) 1?cosx; (D) 1?cosx.
二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共9小题, 每小题4分, 共36分）
1.lim(x??x?1x)?________． 2.f(x)?x?1111?x的可去间断点是x?__________.
11____. 4.?xe?xdx的值是_________. 3.设 y?arctan,则dy?__________0x5.limtanx?x?2??________． 6.x?0时，xsinx~x,则??________.
x?0x2sinx7.
???0?x?2t?t2dx?____________. 8.设?3(x?2)(x?3)?y?3t?td2y,则2?____________.
dx9.微分方程dy1?y??4满足条件y(1)?1的特解是y?_________________. dxxx2arctanxdx. 三、(8分)计算不定积分?21?x四、(8分)求曲线y?x?6x?12x?4的升降区间, 凹凸区间及拐点. 五、(8分)求微分方程y???3y??2y?3xe2?x32y的通解.
六、(10分)在[0，1]上给定函数y?x，问t为何值时,如图所示 阴影部分的面积S1与S2的和最小，何时最大？并求此时两图形 绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。
y?x2t2S1AS210tx七、(6分)设f(x)在[a,b]上连续,且不恒为常数又f(x)在(a,b)内可微,
且f(a)?f(b).试证:???(a,b)使f?(?)?0.
一、1．(C) 2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D) 6. (B)
2二、1.e 2.x?0 3.dy??121dx1? 4. 5. 2e31?x53d2y36.??. 7. ln 8.?. 9.y?x(1?4lnx)
22dx24(1?t)?????9*.a?b?i?5j?3k
三、xarctanx?11ln(1?x2)?(arctanx)2?C 22四、(??,??)内为上升曲线. 所以凸区间为(??, 2] ? 凹区间为[2, ??) ? 拐点为(2, 12).
五、y?C1e六、t??x3?C2e?2x?e?x(x2?3x).
213,S(t)最小 所求体积为 =? 216
十、高等数学试题 2007/1/14
一、选择题（本大题20分，共有5小题，每小题4分） 1．设数列{xn}收敛，{yn}发散，则必有[ ]成立。 （A）limxnyn存在； （B）limn??n??ynx存在；（C）lim(xn?yn)不存在；（D）limn存在。
n??n??yxnn?1?ex?1,x?0,?2,x?0, 则x = 0是f(x)的[ ]。 2.设f(x)???1?1?xsin,x?0,x?(A)可去间断点；(B) 跳跃间断点；(C) 无穷间断点； (D) 连续点。
3.设x在点x0处有增量?x，函数y = f (x)在x0处有增量?y，又f ?(x0) ? 0,则当?x?0时，?y是该点微分dy的[ ] (A)高阶无穷小；(B) 等价无穷小；(C) 低阶无穷小；(D) 同阶但不是等价无穷小。
4.设f(x)在(??, +?)上二阶可导且为奇函数，又在(0, +?)上f ?(x0) > 0，f ??(x0) > 0，则在(??, 0)上必有[ ] (A) f ?(x0) < 0, f ??(x0) < 0；(B) f ?(x0) > 0, f ??(x0) > 0；(C) f ?(x0) < 0, f ??(x0) > 0；(D) f ?(x0) > 0, f ??(x0) < 0。 5.设???10xdx，???x2dx，???01102x?x2dx，则有关系式[ ]成立。
(A)? > ? > ?； (B) ? > ? > ? ；(C) ? > ? > ?；(D) ? > ? > ?.
二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分）
1.lim(1?sin3x)x?012x?________． 2.方程x5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)内共有______个根.
? 3.
??(x2?27?1)sin2xdx?_________.
4.
arctanx ?x(1?x)dx?________．5.球体半径的增长率为0.02m/s，当半径为2 m时，球体体积的增长率为_________.
6.微分方程y?? + 2y? ? 3y = 0的通解为y = _________. 三、计算题(6分?4 = 24分)
?x?lntd2y1.设?,求2. 3dxt?1?y?t2.求lim?1??1??. x?0x2xtanx??3.求
?x24?x2dx.
4．求微分方程(x – y)ydx – x2dy = 0的通解.
四、(10分)设y = xe?x (0 ? x < +?)，求函数的极大值，函数曲线的拐点，并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积.
五、(8分)在曲线上任一点M(x, y)处切线在y轴上的截距为2xy2, 且曲线经过点M0(1, 2)，求此曲线的方程.
x?x2,0?x?1六、(8分)设f(x)??适当选取a, b值，使f (x)成为可导函数，令?(x)??f(t)dt，并求出
0x?1,?ax?b,?(x)的表达式.
七、(6分)设f (x)具有二阶连续导数，且f (a) = f (b), f ?(a) > 0, f ?(b) > 0, 试证：???(a, b)，使f ??(?) = 0. 答案：一、1．(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.e 2.1 3.
32? 4.(arctanx)2?C 5. 0.32? 6.C1e?3x + C2ex. 2x1x12三、1. 9. 2.. 3. 2arcsin?x4?x?C. 4.x?Cey.
322四、极大值y(1)?123??513??2?, 拐点?2,2?，面积A??2，体积V??2?4?。 eee4?ee??e?五、y?2x. 22x?1?x3,??3六、a = 2, b = ?1, ?(x)???x2?x?1,?3?x?1.
x?1
十、高等数学试题 2008/1/14
一．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
?n2?n n为奇数??n1．数列f(n)??，当n??时，f(n)是 [ ]．
?1 n为偶数??n(A) 无穷大；(B) 无界但非无穷大；(C) 无穷小； (D) 有界但非无穷小． 2．设y?cos(2x?(A) 2ncos[2x??4)，则y(n)? [ ]．
2n?1n??]； (B) 2ncos[2x?]； 44n?2n?1]； (D) cos[2x??]． (C) cos[2x?243．设F(x)??x?2?xesintsintdt，则F(x)为 [ ]．
(A) 正常数； (B) 负常数； (C) 恒为零 (D) 不为常数．
4．设y=y(x)是方程y???3y??e的解，且y?(x0)?0，则y(x)在 [ ]． (A) x0的某个邻域内单调增加； (B) x0的某个邻域内单调减少； (C) x0处取极小值； (D) x0处取极大值． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1. y?e32x2x?sin(xy)?0在x?0处的切线方程是 ．
2. 一个圆锥形容器，深度为10m，上面的顶圆半径为4m，则灌入水时水的体积V对水面高度h的变化率
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