2019年10月全国自考高等数学工本00023真题试题(含详解)

解：级数

?2n?1?nn为正项级数.

令un?nun?1，则limn??u2nnn?1n?112?lim??1. n??n22n?根据比值审敛法，级数

?2n?1nn收敛.

xn22.求幂级数?的和函数.

nn?1?xn解：设所求和函数为s(x)，即s(x)= ?，

nn?1?则s?(x)??xn?1?n?1?1，x?(?1,1). 1?x上式两边从0到x积分，由s(0)=0，得s(x)=-ln(1-x)，x∈[-1,1). 四、综合题：本大题共3小题，每小题5分。共15分。 23.求函数f(x,y)?x?2xy?y?2x?6y?8的极值. 解：依题意，得

22??fx(x,y)?2x?2y?2?0?x?y?1?0由?即?，得驻点(2,?1).

f(x,y)?2x?2y?6?0x?y?3?0???y由在驻点(2,?1)处的二阶偏导数为

A?fxx(2,?1)?2,B?fxy(2,?1)?2,C?fyy(2,?1)??2.

则??B?AC?2?2?(?2)?8?0，所以点(2,-1)不是f(x,y)的极值点. 故该函数无极值.

24.求曲面x?2y?z?2在点P0(1,?1,1)处的法线方程. 解：令F(x,y,z)?x?2y?z?2， 则Fx(1,?1,1)?2x(1,?1,1)22222222?2,Fy(1,?1,1)?4y(1,?1,1)??4,Fz(1,?1,1)??2z(1,?1,1)??2.

取法向量为n??2,?4,?2?.

所以法线方程为

x?1y?(?1)z?1x?1y?1z?1????即为所求. 2?4?21?2?15

25.用定义证明无穷级数

??n?1?n?1?n发散.

?证明：依题意，得该级数的部分和为

sn??2?1???3?2???4?3????n?n?1???n?1?n

??n?1?1.

显然，limsn???，所以无穷级数

n????n?1?n?1?n发散.

?

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