dpx??(m?m1)?x?m1l?2sin???F??kxdt
系统的运动微分方程为：
2－4 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为m??vt，提起部分
的速度为v，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为vr，方向向下，大小为v（如图a所示）。
F(t)
y
mg
v r (a) (b) FN
根据变质量质点动力学方程有：
?(m?m1)?x?kx?m1l?2sin?t
vm将上式在y轴上投影有：
dvdm?F(t)?mg?vr?F(t)?(?vt)g?vr?vdtdt
m由于
再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：FN?(l?vt)?g
2－5 将船视为变质量质点，取其为研究对象，
受力如图。根据变质量质点动力学方程有：
dvdmm?F?mg?FN?vrdtdt
船的质量为：m?m0?qt，水的阻力为F??fv
将其代入上式可得：
dv(m0?qt)??fv?mg?FN?qvrdt
dv?0，所以由上式可求得：F(t)??(vgt?v2)。 dtdv?F(t)?(?vt)g?vr?v?F(t)??(vgt?v2)dt
FN
v
mg
x
将上式在x轴投影：(m0?qt)
dv??fv?q(?vr)。应用分离变量法可求得 dtfln(m0?qt)?cq
f由初始条件确定积分常数：c?ln(qvr)?lnm0，并代入上式可得：
qln(qvr?fv)?
qvv?rf
f?m0?qtq?)??1?(m0????
2-8 图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为J，质量为m的质点沿
半径为R的圆周运动，其相对方
板的速度大小为u（常量）。圆盘中心到转轴的距离为l。质点在方板上的位置由?确定。初始时，??0，方板的角速度为零，求方板的角速度与?角的关系。
z
ve vr g u M ? r o ? ?
o R l l
图a 图 b
解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计
算方板和质点对转轴的动量矩。
设方板对转轴的动量矩为L1，其角速度为?，于是有
设质点M对转轴的动量矩为L2，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为ve,vr。相对速度沿相对轨迹
的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度va?ve?vr。
L1?J?
它对转轴的动量矩为
其中：
L2?L2(mva)?L2(mve)?L2(mvr)
L2(mve)?mr2??m[(l?Rcos?)2?(Rsin?)2]?
L2(mvr)?m(l?Rcos?)vrcos??mRsin2?vr
系统对z轴的动量矩为L??L1?L2。初始时，??0,??0,vr?u，此时系统对z轴的动量矩为
L0?m(l?R)u
当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为
L??J??m[(l?Rcos?)2?(Rsin?)2]??m(l?Rcos?)ucos??mRsin2?u?[J?(l2?R2?2lRcos?)m]??(lcos??R)mu
由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有L??L0，因此可得：
m(l?R)u?[J?(l2?R2?2lRcos?)m]??(lcos??R)mu
由上式可计算出方板的角速度为
??
2－11 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为?，则系统对O轴的动量矩为：
根据动量矩定理有：
ml(1?cos?)uJ?m(l2?R2?2lRcos?)
LO?JO???l(2a??r)r2?
?
dLO??[JO??l(2a??r)r2]?dt??l(a?x)gr??l(a?x)gr
FOy FOx
P
整理上式可得：
???l(2x)gr[JO??l(2a??r)r2]?
由运动学关系可知：?r?x，因此有：?。上式可表示成： ???r??x
?[JO??l(2a??r)r2]?x?2?lgr2x
2?lgr2令??，上述微分方程可表示成：??x??2x?0，该方程的通解为： 2JO??l(2a??r)r2
x?c1e?t?c2e??t
根据初始条件：t?0,x?x0,x??0可以确定积分常数c1?c2?
系统的动量在x轴上的投影为：
x0，于是方程的解为： 2x?x0ch?t
?px???rsin??lrd??2??lr2?2?lrx0?
系统的动量在y轴上的投影为：
根据动量定理：
?py??l(a?x)?r??l(a?x)?r??2?lx?r?2?lxx
由上式解得：
?px?F0x?py?F0y?P??l(2a??r)g
FOx?2?lrx0?2ch?t2Foy?P??l(2a??r)g?2?l?2x0ch(2?t)，
2－14
取整体为研究对象，系统的动能为：
T?1212mvA?mCvC22
mg
其中：vA,vC分别是AB杆的速度和楔块C的速度。 若vr是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据 复合运动速度合成定理可知：
vc?vAcot?，
vr vA
vC
因此系统的动能可表示为：
T?121122mvA?mCcot2?vA?(m?mCcot2?)vA222，
系统在运动过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：
dT??W，
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