三角形BEK绕B点旋转?rE?BE，且：
?rE??rD?a???
对刚性杆CD和杆CE，由于?rD?CD,?rE?CE，因此?rC?0。由虚位移原理??W(Fi)?0有：
代入各点的虚位移整理可得：
00(F1?P1)??rDcos60?P1??rEcos60?0
(F??0 1?2P1)?a?F1P??12（受压）对任意???0可得：。
2．求杆2受力
去掉杆2，代之以力P2，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角?为广义坐标，如
上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有
?rK?AK，且：
?rK?3a???
同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转?rE?BE，且：
?rE??rD?a??? ?rE?a???
杆AD绕A点转动?rD?AD，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图
所示，且：
?rD??rE?a???
?W(Fi)?0有：
同理可知?rC?0。由虚位移原理
000F1??rDcos120?P2??rDcos150?P2??rKcos120?0
代入各点的虚位移整理可得：
(F1?23P2)?a???0
3F1P2??6（受压）对任意???0可得：。
3．求杆3受力
去掉杆3，代之以力P3，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角?为广义坐标，如
上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，
??rD?AD,?rK?AK，且：
?rD?a???,?rK?3a???
同理可知B点不动，?rE?BE，且：
?rE??rD?a???
?W(Fi)?0有：
由虚位移原理?代入各点的虚位移整理可得：
?rC?0
000F1??rDcos60?P3??rEcos150?P3??rKcos120?0
(F1?23P3)?a???0
3F1P3?6（受拉）对任意???0可得：。
4-12杆长2b，重量不计，其一端作用铅垂常力F，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹簧，如图所示。弹簧刚度系数为k，当y?0时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡位置y，讨论此平衡位置的稳定性。 解：
F大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统，有一个自由度，选?为广义坐标，如图所示。取??0为零势能位置，则系统在任意位置的势能为：
V?V弹?VF
1?k(b?bcos?)2?F(2b?2bcos?)21?kb2(1?cos?)2?2Fb(1?cos?)2
dV?0d?由平衡条件可得：
θ
b[kb(1?cos?)?2F]sin??0
有：sin??0和kb(1?cos?)?2F?0 即：??0和cos??1?也就是：y?0和y?2F kbF(kb?F)两个平衡位置。
为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数：
2kd2V当??0时，
d?2?(kb?2F)bcos??kb2cos2?
d2V??2Fb?0，即y?0时是不稳定平衡。 2d?2F当cos??1?时，
kb
d2V
由上式可知：
d?2?4F(kb?F)k
d2V2Fkb?F21． 当cos??1?且时，即?0y?F(kb?F)是稳定平衡位置； 2d?kbkd2V2Fkb?F22． 当cos??1?且时，即?0y?F(kb?F)是不稳定平衡位置。
d?2kkb
4-15半径为r的半圆住在另一半径为R的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。
解：
取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个
半圆心连线与y轴夹角?为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中h?动，有：
4r。由于半圆柱作纯滚3??r??R （1）
取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为：
V?mgzC?mg[(R?r)cos??代入（1）式有：
4rcos(???)]3?
V?mg[(R?r)cos??
由平衡条件
4rR?rcos(?)]3?r
dV4R?r?mg(R?r)[sin(?)?sin?]d?3?r
dV?0可得??0为平衡位置。势能V的二阶导数： d?
d2Vd?2由上式可得当R?(
努力学习吧！
?mg(R?r)[3??1)r，??0是稳定的。 44(R?r)R?rcos(?)?cos?]3?rr
动力学
1－3 解：
运动方程：y?ltan?，其中??kt。
将运动方程对时间求导并将??300代入得
l??lk4lk??v?y??3 cos2?cos2?2lk2sin?83lk2?a??y???39 cos?
1－6
证明：质点做曲线运动，
所以质点的加速度为：a?at?an,
设质点的速度为v，由图可知:
y vy? v ? avacos???n，所以: a?n
vyva将vy?c，an?vy a x
v2?
o
an v3代入上式可得 a?
c? 证毕 1－7
a?vv2证明：因为??，an?asin??
vanz at ? v3所以：??
a?v 证毕
1－10
a an o y
x
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