一、 线性规划
1．求解下列线性规划问题： 共20分 max z=2x1+7x2-3 x3
x1+3x2+4x3≤30 （第一种资源限制约束）
x1+4x2- x3≤10 （第二种资源限制约束）
x1、x2、x3≥0
（1） 求出该问题的最优解和最优值；
（2） 第二种资源限量由10变为20，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解； （3） 增加一个新变量x6，其目标函数系数为3，技术消耗系数为???a16??1?????，最优解是??2??a26???否改变；若改变请求出新的最优解。
解：（1）lingo 程序 max =2*x1+7*x2-3*x3;
x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=10;
最优解（x1 x2 x3）=（10 0 0） 最优值=20
（2） max =2*x1+7*x2-3*x3;
x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=20;
最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0） 最优值=40
或对第一题进行灵敏度分析(第二种资源限量可以在0到30范围内变化，
最优基解不变最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0）最优值=40)
（3）max =2*x1+7*x2-3*x3+3*x4; x1+3*x2+4*x3+x4<=30; x1+4*x2-x3+2*x4<=10;
求解得到 最优解（x1 x2 x3 x4）=（10 0 0 0） 最优值=20
2．某校基金会有一笔数额为5000万元的基金，打算将其存入银行。当前银行存款的利率见下表2。取款政策与银行的现行政策相同，定期存款不提前取，活期存款可任意支取。
校基金会计划在5年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在5年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会设计一个基金最佳使用方案，试建立其模型。（15分）
表2 活期 半年期 一年期 银行存款税后年利率（%） 0.792 1.664 1.800 二年期 三年期 五年期 1.944 2.160 2.304
3、某公司打算在三个不同的地区设置4个销售点，根据市场预测部门估计，在不同的地区设置不同的数量的销售点，每月可得到的利润如表2所示。试问在各个地区应如何设置销售点，才能使每月获得的总利润最大？其最大利润是多少？并给出最优方案。（15分）
表2 销售点 0 利润 地区 1 2 3 0 0 0 1 2 3 4 16 12 10 25 17 14 30 21 16 32 22 17 解：变量 xij为0,1变量
目标函数：Max z?5 x?0,(i=1,2, 3；j=1,2,3,4,5)
ij
??i?1j?135xijcij
? 约束条件：
j?13xij?1,i?1,2,35
ij??[xi?1j?1*(j?1)]?4Cij=0 16 25 30 32 0 12 17 21 22 0 10 14 16 17
程序： model: sets:
s/1..3/; d/1..5/; link(s,d):c,x; Endsets
max=@sum(link:c*x);
!min=@sum(s(i):@sum(d(j):c(i,j)*x(i,j))); ! 同上面相同的目标函数 ; @for(s(i):@sum(d(j):x(i,j))=1);
@sum(s(i):@sum(d(j):(j-1)*x(i,j)))=4; data:
c=0 16 25 30 32 0 12 17 21 22 0 10 14 16 17; Enddata
结果：Global optimal solution found.
Objective value: 47.00000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost X( 1, 3) 1.000000 0.000000 X( 2, 2) 1.000000 0.000000 X( 3, 2) 1.000000 0.000000
答：地区1设2个销售点，地区2、3个设1个销售点，最大利润为47
4．一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后出售。已知该公司仓库的最大储存量为20万米3，储存费用为（70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数）。已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如表1所示。表1 季度 冬 春 夏 秋 买进价（万元/万米3） 410 430 460 450 卖出价（万元/万米3） 425 440 465 455 预计销售量（万米3） 100 140 200 160 由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。（15分）
解：xij:第i季度买进，第j季度卖出，（i<=j） 目
标
函
数
：
Max=x11*(425-410)+x12*(440-410)+x22*(440-430)+x13*(465-410)+x23*(465-430)+x33*(465-460)+x14*(455-410)+x24*(455-430)+x34*(455-460)+x44*(455-450)-x12*(70+100*1)*0.1-x13*(70+100*2)*0.1-x14*(70+100*3)*0.1-x23*(70+100*1)*0.1-x24*(70+100*2)*0.1-x34*(70+100*1)*0.1 约束条件： X11=100 X12+x22=140 X13+x23+x33=200 X14+x24+x34+x44=160 X12+x13+x14<=20
X13+x14+x23+x24<=20 X14+x24+x34<=20 模型：
Max=x11*(425-410)+x12*(440-410)+x22*(440-430)+x13*(465-410)+x23*(465-430)+x33*(465-460)+x14*(455-410)+x24*(455-430)+x34*(455-460)+x44*(455-450)-x12*(70+100*1)*0.1-x13*(70+100*2)*0.1-x14*(70+100*3)*0.1-x23*(70+100*1)*0.1-x24*(70+100*2)*0.1-x34*(70+100*1)*0.1; X11=100; X12+x22=140; X13+x23+x33=200; X14+x24+x34+x44=160; X12+x13+x14<=20; X13+x14+x23+x24<=20; X14+x24+x34<=20;
结果：Global optimal solution found.
Objective value: 5160.000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost X11 100.0000 0.000000 X12 0.000000 0.000000 X22 140.0000 0.000000 X13 20.00000 0.000000 X23 0.000000 7.000000 X33 180.0000 0.000000 X14 0.000000 20.00000 X24 0.000000 27.00000 X34 0.000000 27.00000 X44 160.0000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 5160.000 1.000000 2 0.000000 15.00000 3 0.000000 10.00000 4 0.000000 5.000000
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