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科目 数学 时间 学生
第19章 四边形 一． 平行四边形
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形用“四边形ABCD记作“
ABCD”.
”表示.平行
1. 平行四边形性质： 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线相互平分（可否自己证明之？） 例题1：如图,AB∥DC,AD∥BC,如果
?B?50,那么相等的角和边有 .
A D
例题2：下列矩形中,按虚线剪开后,既能拼出平行
B 四边形和梯形,又能拼出三角形的是 C 中点 中点 中点 A Ｂ Ｃ Ｄ 2. 平行四边形的判定
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 例题3：如图：ABCD是平行四边形,?ABC=70?,BE平分?ABC交AD于E,DF//BE,交BC于F,求?1的大小.
（2）对角线相互平分的四边形是平行四边形（可否自己证明？）
例题4：如图：四边形ABCD中,AD=12,DO=BO=5,AC=26, ?ADB=90?.求BC的长和四边形ABCD的面积.
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（能否自己证明？）
例题5：在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD?BC,BC＝6cm,P、Q分别从A、C同时出发,P以1 cm/S的速度由A向D运动,Q以2cm/S的速度由C向B运动,问几秒时,四边形ABQP是平行四边形？
1例题6：已知点A(2，点B（?,0）、点C（0,1）,以A、B、0)、
2C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在 （ ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
练一练：
1．一组对边平行,另一组对边相等,这样的四边形一定是平行四边形.( )
2．四边形ABCD中,如果AB＝BC,CD＝AD,那么四边形ABCD是平行四边形( )
3．在四边形中,有一组对边平行,还有一组对角相等,那么它是平行四边形( )
4．在四边形中,有一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形( ) 5．对角线相等的四边形是平行四边形( )
6．有两组对角分别相等的四边形一定是平行四边形( ) 7．四个角都相等的四边形一定是平行四边形( )
8．一条对角线经过另一条对角线的中点,那么这个四边形是平行四边形( ) 9. 如图,点D、E分别是?ABC的边AB、AC的中点,求证DE//BC,
1且DE=BC.
2
*由上题可知,三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.
二． 特殊的平行四边形 1. 矩形
有一个角是直角的平行四边形叫矩形,也就是长方形 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等
*能否证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例题7：如图,矩形ABCD中,E是AD中点,⑴判断△BCE是什么三角形？为什么？⑵若∠EBC＝70°,求∠BEC的度数.
矩形的判定：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
例题8：BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线,AE⊥BE,AD⊥BD,求证：四边形AEBD是矩形.
例题9：如图,已知平行四边形ABCD中,E是BC的中点,且EA＝ED.求证：四边形ABCD是矩形
ADBEC
对角线相等的平行四边形是矩形
例题10：已知：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O, △AOB是等边三角形,AB＝4cm．求这个平行四边形的面积．
有三个角是直角的四边形是矩形
例题11：已知：平行四边形ABCD四个内角平分线交于E、F、G、H. 求证：四边形EFGH是矩形.
AGHBEFCD
矩形练习：
1．一组对边相等,另一组对边平行,对角线相等的四边形是矩形.( ) 2．有三个角相等的四边形是矩形.( )
3．如图,MN∥PQ,同旁内角的平分线AB、CB和AD、CD分别交于点B、D ⑴猜想AC和BD的位置关系是 ⑵证明你的猜想.
2. 菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线相互垂直平分,并且每条对角线平分一组对角 菱形的判定：
（1）一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
例题12：已知如图,四边形ABCD、四边形DEBF都是矩形,AB=BF,BE、AD
E交于点M,BC、DF交于点N,试说明四边形BMDN是菱形.
AMD
（2）对角线相互垂直的平行四边形是菱形
例题13：如图,已知AD平分∠BAC,DE//AC,DF//AB,AE=5.
（1）判断四边形AEDF的形状？ （2）它的周长为多少？
（3）四边相等的四边形是菱形
例题14：如图,已知在ABCD中,AD=2AB,E、F在直线AB上,且AE=AB=BF,证明:CE⊥DF.
例题15：已知菱形的两条对有线长分别为6和8,求菱形的面积.
例题16：如图,四边形ABCD是菱形,∠BAC＝30°,BD＝6cm, 求∠BAD、∠ABD的度数,求AB的长.
例题17：如图4－48,CD为Rt△ABC斜边AB上的高,∠BAC的平分线交CD于E,交BC于F,FG⊥AB于G．求证：四边形EGFC为菱形.
菱形练习
1．有一条对角线平分一组内角的四边形是菱形.( ) 2．两条对角线垂直且相等的四边形是菱形.( ) 3．菱形对角线的交点到各边的距离相等.( ) 4．菱形的一个顶点到它所对的两边距离相等.( ) 5．有一组邻边相等的平行四边形式菱形.( )
BFNC
6．一组邻边相等,且对角互相垂直的四边形是菱形.( ) 7、如图,O是矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,试说明OE与CD互相垂直平分.
3. 正方形
正方形四条边相等,四个角都是直角,所以,正方形既是矩形,又是菱形
例题18：E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,且AE=BF=CM==DN,四边形EFMN是甚么图形？证明你的结论.
正方形判定：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形
例题19：如图,△ABC中,点O是AC上一动点,过点O
作直线MN∥BC,设Mn交∠ACB的平分线于点E,交∠ACH的平分线于点F. （1）说明：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形；（3）当O是AC上怎样的点,且AC与BC具有什么关系时,四边形AECF是正方形？
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
例题20：如图,在△ABC中,∠C＝90°,∠A、∠B的平分线交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.求证： 四边形CFOE是正方形．
（3）对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形 正方形练习
1.如图,E是正方形ABCD外一点,AE＝AD,∠ADE＝
75°,求∠AEB的度数.
2.对于周长为20的矩形,通过填写下表,研究它的长、宽的变化对面积的影响. 矩形的…… 8 7 6 5 4 3 2 …… 长 矩形的…… 宽 ……
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