24．（10分）（2015?枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：2
BC=CD?2OE；
（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．
解答： （1）证明：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC， ∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°， ∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径， ∴DE为⊙O的切线； （2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线， ∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC， ∴=，即BC=AC?CD．∴BC=2CD?OE； =，又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12， ． 22（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=∴AC=15．又∵AC=2OE，∴OE=AC= 25．（10分）（2015?枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
2
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 解答： 解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax+bx+6上， 2∴，解得2， ∴抛物线的解析式为y=2x﹣8x+6． （2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n﹣8n+6），=﹣2n+9n﹣4，=﹣2（n﹣）+∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为． 2222， （3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°． 由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在； ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°． 如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=． 过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形， ∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）． 设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得， 2∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x﹣8x+6 ② 联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）； 22iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x﹣8x+6=2（x﹣2）﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=∵点P1（3，5）、P2（，．∴P2（，）． ）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形）． 时，点P的坐标为（3，5）或（，
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