激光原理第二章答案

激光原理 第六版 天津理工大学理学院

第二章 开放式光腔与高斯光束

??。 ????1 01. 证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为???0 1?2??

证明：设入射光线坐标参数为r1, ?1，出射光线坐标参数为r2, ?2，根据几何关系可知

r2?r1, ?1sin?1??2sin?2 傍轴光线sin???则?1?1??2?2，写成矩阵形式

?1 0?r2??????0 ?1??2??2?????r1? 得证 ?????1????1??1 d???22. 证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为。 ????0 1??

证明：设入射光线坐标参数为r1, ?1，出射光线坐标参数为r2, ?2，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得 ?1 0?r2??????0 ?2??2??1????1 0??1 d?????0 1??0 1???2?????1???1 d??r1??r2????r1??2 化简后?????得证。 ???????1???2???1????0 1???3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：

1 激光原理 第六版 天津理工大学理学院

其往返矩阵为：

由于是共焦腔，则有

?AT???C?1B??????2D???R10???11???0???1L??2?1?????R20???11???0??L??1?R1?R2?L

将上式代入计算得往返矩阵

Tn??1T???0n0???1??Tr1TLTr2TL??n?A B?n????1????C D??1 0?n??1?????0 1?n?1 0??? 0 1??可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。

4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解：共轴球面腔稳定性条件0?g1g2?1其中g1?1?1?LR1LR2,g2?1?LR2

对平凹共轴球面镜腔有R1??,R2?0。则g1?1,g2?1?LR2，再根据稳定性条件

0?g1g2?1可得0?1??1?R2?L。

对双凹共轴球面腔有，R1?0,R2?0则g1?1?LR1,g2?1?LR2,根据稳定性条件

?0?R1?L??R1?LL??L??1??1? 或 0?g1g2?1 可得0??1???0?R2?L。 ???R1??R2??R2?L??R?R?L2?1对凹凸共轴球面镜腔有，R1?0,R2?0则g1?1?LR1,g2?1?LR2?0,根据稳定性条件

??R1?LL??L?1??1?0?g1g2?1 可得0??1?。 ????R?R?LRR?12?1??2?

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5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。

解：设两腔镜M1和M2的曲率半径分别为R1和R2，R1??1m,R2?2m 工作物质长l?0.5m，折射率??1.52

当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为l,工作物质左右两边剩余的腔长分别为l1和l2，则l1?l?l2?L。设此时的等效腔长为L?，则光在腔先经历自由传播横向距离l1，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离l2，则

所以等效腔长等于 L??l2?l?l1?(L?l)?l?1??0?1?????0L???1???1??0l2?ll2??1??1??0??l1????0??1?????0?1l???1??0??0???11??0????l1??1??1??

再利用稳定性条件

L???L???0??1?1?????1 (1)2??1??由(1)解出 2m?L??1m 则

所以得到：

1.17m

L?L??0.5?(1?11.52)?L??0.176. 图2.3所示三镜环形腔，已知l，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的F?(Rcos?)/2，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，

F?R/(2cos?)，?为光轴与球面镜法线的夹角。

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图2.1

解：

?A??CB??1???D??0?1l????11???F0?1???1??0?平面镜l?lRlR?12l????11???F0??1??2?4l4l?2?1?FF??22?2l?2?l?F22l?3l??F?2l?1??F?

12l22?A?D??1?3lF?l22F

稳定条件 ?1?l22F?3lF?1?1

左边有

F?3lF?2?0?l??l??2?1?????0FF????R2 所以有

lF?2或lFR?1

F子午?cos?对子午线： 对弧矢线：

F弧矢?2cos?对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得 子午光线

弧矢光线

433l3l?R?233l或R?43l?R?2l或R?3l任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得

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439l?R?32l或R?433l激光原理 第六版 天津理工大学理学院

7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，方形孔边长d?2a?0.12cm，λ=632.8nm，镜的反射率为r1?1,r2?0.96，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEM00模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式

估算（l为放电管长度，假设l?L）

解：并且假定TEM00和TEM01模的小信号增益系数相同，用g0TEM01模为第一高阶横模，表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式

eegl00egl0?1?3?10?4ldr1r2(1??00?0.003)?1 Ir1r2(1??01?0.003)?1 IIgl根据已知条件求出腔的菲涅耳数

N?a2

L??0.062?730?632.8?10?1.9由图2.5.5可查得TEM00和TEM01模的单程衍射损耗为

氦氖增益由公式

计算。代入已知条件有egl0?00?10?01?10?8.37?6egl0?1?3?10gl0?4Ld?1.075。将e、?00、?01、r1和r2的值代入I、II式，两式

的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。

为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求

?01?0.047

根据图2.5.5可以查出对应于?01的腔菲涅耳数 N'?0.90 由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长

2a?L?N'?2?300?632.8?10?6?0.9?0.83mm

同理利满足I式的条件可得2a?0.7mm

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