(完整版)高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册

第八章 多元函数微分法及其应用

第 一 节 作 业

一、填空题：

1.函数z?ln(1?x2)?y?x2?3x?y?1的定义域为2.函数f(x,y,z)?arccos22zx?y22的定义域为.

3.设f(x,y)?x?y,?(x)?cosx,?(x)?sinx,则f[?(x),?(x)]?4.limsinxyx.y??0?ax二、选择题（单选）： 1. 函数

1sinxsiny的所有间断点是:

(A) x=y=2nπ（n=1,2,3,…）；

(B) x=y=nπ(n=1,2,3,…)；

(C) x=y=mπ(m=0,±1，±2，…)；

(D) x=nπ,y=mπ(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。

?2. 函数f(x,y)??sin2(x2?y2?x2?y2,x2?y2?0在点（0，0）处：??2,x2?y2?0（A）无定义； （B）无极限； （C）有极限但不连续； 三、求lim2?xy?4x.

y??0axy

四、证明极限limx2y222不存在。?0xy?(x?y)2

xy?071 / 13

答：（ ）

（D）连续。

答：（ ）

第 二 节 作 业

一、填空题：

?12?xysin(xy),xy?01.设f(x,y)??,则fx(0,1)??x2,xy?0?2.设f(x,y)?x?(y?1)arcsin二、选择题（单选）：

.

x,则fx(x,1)?y.设z?2x?y,则zy等于:(A)y?2x?y22?ln4;(B)(x?y)?2yln4;(C)2y(x?y)e22x?y2;(D)2y?4x?y2

.

答：（ ）

三、试解下列各题：

x?z?z1.设z?lntan,求,.y?x?y

y?2z2.设z?arctan,求.

x?x?y?2r?2r?2r2四、验证r?x?y?z满足2?2?2?.

r?x?y?z222

第 三 节 作 业

一、填空题：

1.函数z?dz?yxy当x?2,y?1,?x?0.1,?y??0.2时的全增量?z?x..全微分值

2.设z?e,则dz?二、选择题（单选）：

1. 函数z=f(x,y)在点P0（x0,y0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：

（A）充分条件； （B）充要条件； （C）必要条件； （D）无关条件。 答：（ ）

72 / 13

2. f(x,y)在(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的：

（A）充分必要条件； （B）必要非充分条件；

（C）充分非必要条件； （D）既非充分亦非必要条件。

答：（ ）

三、试解下列各题：

1.设z?xy?x,求dz.y2.设u?xyz,求du.3.求函数z?ln(1?x2?y2)当x?1,y?2时的全微分.4.设z?arccos

xx?y22,求dz.

四、证明：f(x,)?

xy在点（0,0）处的偏导数存在，但在点(0,0)处不可微。

第 四 节 作 业

一、填空题：

1.设z?ex?2y,而x?sint,y?t3,则dz?dt73 / 13

.

2.设z?u2lnv,而u?x?z,v?3x?2y,则?y?x..

3.设z?f(x?y,x?y),f可微,则dz?二、选择题（单选）：

1.设u?(x?y)z,而z?x2?y2,则ux?uy等于:(A)2[z(x?y)z?1?(x?y)(x?y)zln(x?y)];(C)2(x?y)z(x?y)ln(x?y);dz等于:dy(B)3xy[x?yf'(y)]ln3;(D)zxf'(y)?zy?3xy[[x?yf'(y)]ln3.

(B)2z(x?y)z;(D)2(x?y)z?1ln(x?y).

答：（ ）

2.设z?3xy,而x?f(y)且f可导,则(A)3xy[y?xf'(y)]ln3;3xy(C)[x?yf'(y)];ln3 答：（ ）

?23.设u?f(x?y,xz)有二阶连续偏导数,则??x?z\\\\\(A)f2'?xf11?zf12?xf12;(B)xf12?xf2'?xzf22;

\\(C)xf21?xzf22;\\(D)f2'?xf21?xzf22. 答：（ ）

三、试解下列各题：

1. 设z?arctan(xy),而y?e,求xdz. dx

2. 求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）： (1)u?f(x?y,e).22xy(2)u?f(x,xy,xyz).

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x?2z. 3. 设x?f(x,),f具有二阶连续偏导数,求y?x?y

4. 设z=f(x,u,v),u=2x+y,v=xy,其中f具有连续偏导数，求全微分dz。

5.设z?f(x,y),且f具有连续的一阶偏导数,而x?u,y2?v?u2,试以u,v为新的自变?z?z量交换方程:y?x?0.?x?y

四、设z?

第 五 节 作 业

一、填空题： 1. 设ln

y1?z1?zz,其中f(u)为可导函数,验证:??. 222x?xy?yyf(x?y)ydyx2?y2?arctan,则?xdx75 / 13

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