2t??
则可取n＝?1，－1，?.
1－t??
又m＝(0,0,1)是平面ACD的一个法向量， 所以|cos〈m，n〉|＝
|m·n|2
＝cos 45°＝， |m||n|2
1
解得t＝，即点M是线段PD的中点.
2
此时平面MAC的一个法向量可取n0＝(1，－1，2)， →
BM＝(－22，32，1).
设BM与平面MAC所成的角为θ， 26→
则sin θ＝|cos〈n0，BM〉|＝.
9
思维升华 (1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.
(2)平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化. 跟踪训练4 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB＝AC＝2，AD＝22，PB＝2，PB⊥AC.
(1)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(2)若∠PBA＝45°，试判断棱PA上是否存在与点P，A不重合的点E，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为6AE
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 9AP
(1)证明 因为四边形ABCD是平行四边形，AD＝22，
所以BC＝AD＝22， 又AB＝AC＝2，
所以AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB，
又PB⊥AC，AB∩PB＝B，AB，PB?平面PAB， 所以AC⊥平面PAB. 又因为AC?平面PAC， 所以平面PAB⊥平面PAC.
(2)解 由(1)知AC⊥AB，AC⊥平面PAB， 分别以AB，AC所在直线为x轴，y轴，
平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， →→
AC＝(0,2,0)，BC ＝(－2,2,0)，
由∠PBA＝45°，PB＝2，可得P(1,0,1)， →→
所以AP＝(1,0,1)，BP＝(－1,0,1)， 假设棱PA上存在点E，
使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为设
AE
＝λ(0<λ<1)， AP
6， 9
→→→→→
则AE＝λAP＝(λ，0，λ)，CE＝AE－AC＝(λ，－2，λ)， 设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，
→??BC＝0，?n·?－2x＋2y＝0，则?即?
?→－x＋z＝0，??BP＝0，?n·
令z＝1，可得x＝y＝1，
所以平面PBC的一个法向量n＝(1,1,1)， 设直线CE与平面PBC所成的角为θ，则 →
sin θ＝ |cos〈n，CE〉| ＝＝
6＝，
3·2λ2＋49|2λ－2|
|λ－2＋λ|3·λ2＋?－2?2＋λ2
17
解得λ＝或λ＝(舍).
24所以在棱PA上存在点E，且
AE1
＝， AP2
6. 9
使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为
1.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD.
(1)证明：BC⊥PB；
(2)若PA⊥PD，PB＝AB，求二面角A－PB－C的余弦值. (1)证明 取AD中点为E，连接PE，BE，BD，
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