2018-2019学年全国高中数学联赛甘肃赛区试题

2018-2019学年全国高中数学联赛甘肃赛区试卷

一、填空题（每题7分，满分70分，将答案填在答题纸上）

1.已知函数f?x?1?为奇函数，函数f?x?1?为偶函数，且f?0??2，则f?4?? ．最最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。 新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

?x?1?2.已知a?0，x,y满足约束条件?x?y?3，若z?2x?y的最小值为1，则

?y?ax?3???a? ．

??m?3. 已知向量a????2,?2?cos2??,b??m,?sin??，其中?,m,?为实数，若a?2b，则

m?2?的取值范围是 ．

4.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是 ． 5.若a0?a1?2x?1??a2?2x?1??a3?2x?1??a4?2x?1??a5?2x?1??x5，则a2? ．

23456.已知?PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA?PD?AB?2,?APD?60?，若点P,A,B,C,D 都在同一个球面上，则此球的表面积为 ． 7.已知正数a,b满足2a?b?1，则4a2?b2?4ab的最大值为 ． 8.设复数z1??3?3i,z2?3?i，z?3sin??i是 ．

9. 已知a?R,b?R?，e为自然对数的底数，则?ea?lnb???a?b?的最小值为 ．

22?3cos??2，则z?z1?z?z2的最小值

?x2y210.已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?，A1,A2是实轴顶点，F是右焦点，B?0,b?是虚轴端

ab,2?，点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P使得?PA1A2i?i?1i1A2?i?1,2?构成以A为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是 ．

二、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

11. 在?ABC中，角A,B,C的对边分为a,b,c，且a2??b?c??2?3bc，

2??sinAsinB?cos2C，BC上的中线AM的长为7. 2（1）求角A和角B的大小； （2）求?ABC的面积.

12. 在一次全省科普知识竞赛中，某市3000名参赛选手的初赛成绩统计如图所示.

（1）求t的值，并估计该市选手在本次竞赛中，成绩在?80,90?上的选手人数；

（2）如果在本次竞赛中该市计划选取1500人入围决赛，那么进入决赛选手的分数应该如何制定？

（3）如果用该市参赛选手的成绩情况估计全省参赛选手的成绩情况，现从全省参赛选手中随机抽取4名选手，记成绩在80（含80）分以上的选手人数为?，试求?的分布列和期望. 1??13.已知在数列?an?中，a1?1，当n?2时，其前n项和Sn满足Sn2?an??Sn??.

2??（1）求Sn的表达式； （2）设bn?Sn1，数列?bn?的前n项和为Tn，证明Tn?. 2n?1214.如图，将边长为4的等边三角形?ABC沿与边BC平行的直线EF折起，使得平面AEF?平面BCFE，O为EF的中点.

（1）求二面角F?AE?B的余弦值； （2）若BE?平面AOC，试求折痕EF的长.

15. 设向量i,j为平面直角坐标系中x,y轴正方向上的单位向量，若向量

a??x?2?i?yj,b??x?2?i?yj，且a?b?2. （1）求满足上述条件的点P?x,y?的轨迹方程； （2）设A??1,0?,F?2,0的结论.

16.已知函数f?x???，问是否存在常数????0?，使得?PFA???PAF恒成立？证明你

lnx,g?x??ex. x（1）若关于x的不等式f?x??mx?g?x?恒成立，试求实数m的取值范围；

22（2）设x1?x2?0，试证：??x1f?x1??x2f?x2???x1?x2?2x2?x1?x2?.

??

试卷答案

一、填空题

1. ?2 2.

13 3. ??6,1? 4. 255.

5 166.

?5?1?2812,? 7. 2? 8. 2?23 9. 2 10. ???? 232??二、解答题

11.解：（1）由a2??b?c??2?3bc，得a2?b2?c2??3bc， b2?c2?a23??∴cosA?，又0?A??，∴A?.

2bc262??由sinAsinB?cos2C11?cosC，得sinB?， 2225?， 6即sinB?1?cosC，则cosC?0，即C为钝角，∴B为锐角，且B?C???2???5????C??1?cosC，化简得cos?C????1，解得C?则sin?，∴B?.

3?36?6??ab2b2?a?222（2） 由（1）知，a?b，由余弦定理得AM?b????2b??cosC?b???242?2?2??7，

2解得b?2， 故S?ABC?113absinC??2?2??3. 22212. 解：（1）依题意，?2t?3t?6t?7t?2t??10?1，所以t?0.005； 而成绩在?80,90?上的频率为0.3，故所求选手人数为3000?0.3?900（人）. （2）要选取1500人入围决赛，就是要求改组数据中的中位数：

70?0.5?0.1?0.151?77?77.14

0.0357所以，进入决赛选手的分数应该制定为77.14分.

?2?k?2??3?（3）依题意，?～B?4,?，所以?的分布列为P???k??C4?????5??5??5?k4?k,?k?0,1,2,3,4?；

或?的分布列：

故E????4?28?. 551??13. 解：（1）∵Sn2?an?Sn??，an?Sn?Sn?1?n?2?，

2??1??∴Sn2??Sn?Sn?1??Sn??，即2Sn?1Sn=Sn?1?Sn，?*?

2??11?2， 由题意得Sn?1?Sn=?0，?*?两边同除以Sn?1?Sn，得?SnSn?1?1?11∴数列??是首项为??1，公差为2的等差数列.

S1a1?Sn?∴

11?1?2?n?1??2n?1，∴Sn?. Sn2n?1Sn11?11??????， 2n?12n?12n?12?2n?12n?1?（2）证明∵bn?∴

Tn?b1?b2??bn?1??1??11??1???????2???3??35?1?n11??1??1?1???????????2n?12n?1??2?2n?1?2n?12，

14. 解：（1）取BC中点G，连接OG.

由题设知四边形EFCB是等腰梯形，所以OG?EF.

由已知AO?平面EFCB.又OG?平面EFCB，所以OA?OG.

如图建立空间直角坐标系O?xyz，设EF?2a，则E?a,0,0?,A0,0,3a,B2,3?2?a?,0，EA??a,0,3a，BE?a?2,3?a?2?,0.

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