【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查异面直线所成角、线线关系的判定定理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生要根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA+cosC﹣cosB＝1﹣sinAsinC． （1）求B；
（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由已知结婚同角平方关系，正弦定理，余弦定理即可求解cosB，进而可求B．
（2）由余弦定理及基本不等式可求ac的范围，然后结合三角形的面积公式S△ABC＝
可求
【解答】解：（1）∵cosA+cosC﹣cosB＝1﹣sinAsinC． ∴1﹣sinA+1﹣sinC﹣1+sinB＝1﹣sinAsinC． ∴sinB＝sinA+sinC﹣sinAsinC 由正弦定理可得，b＝a+c﹣ac 由余弦定理可得，cosB＝∵0＜B＜π， ∴B＝
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
＝
（2）由余弦定理可得，b＝a+c﹣2accosB 即4＝a+c﹣ac ∵a+c≥2ac，
2
22
2
∴4+ac≥2ac
∴ac≤4（当且仅当a＝c时取等号） ∴S△ABC＝
＝
即△ABC面积的最大值
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式的综合应用，属于公式的综合应用．
18．（12分）如图，E是以AB为直径的半圆O上异于A，B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面，且AB＝2，AD＝3． （1）求证：平面EAD⊥平面EBC； （2）若
的长度为
，求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．
【分析】（1）推导出BC⊥圆O所在的平面，BC⊥EA，BE⊥EA，从而EA⊥平面EBC，由此能够证明平面EAD⊥平面EBC．
（2）连结OE，以点O为坐标原点，在平面ABE中，过O作AB的垂线为x轴，AB所在的直线为y轴，在平面ABCD中，过O作AB的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的正弦值．
【解答】证明：（1）∵平面ABCD⊥圆O所在平面，两平面交线为AB， BC?平面ABCD，BC⊥AB， ∴BC⊥圆O所在的平面，
∵EA在圆O所在的平面内，∴BC⊥EA， ∵∠AEB是直角，∴BE⊥EA， ∴EA⊥平面EBC，
∵EA?平面EAD，∴平面EAD⊥平面EBC．
解：（2）如图，连结OE，以点O为坐标原点，在平面ABE中，过O作AB的垂线为x轴，
AB所在的直线为y轴，在平面ABCD中，过O作AB的垂线为z轴，建立空间直角坐标
系， ∴
的长度为
，∴
，∠EOx＝
，
∴O（0，0，0），E（∴
＝（0，2，0），
＝（
），D（0，﹣1，3），C（0，1，3），B（0，1，0）， ，﹣，﹣3），
＝（
，﹣，0），
设平面DCE的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝2，得＝（2，0，），
平面EAD的一个法向量＝∴cos＜
＞＝
＝（＝
＝
，
），
sin＜＞＝，
．
∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值为
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．（12分）已知椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为
为椭圆上一动点（异于左右顶点），△AF1F2面积的最大值为
（1）求椭圆C的方程；
．
（2）若直线l：y＝x+m与椭圆C相交于点A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）bc＝的方程，
，又＝，以及a＝b+c，解得a＝4，b＝1，即可得到椭圆
22222
（2）假设y轴上存在点M（0，t），△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为N（x0，y0），根据韦达定理求出点N的坐标，再根据AM⊥BM，MN⊥l，即可求出m的值，可得点M的坐标 【解答】解：（1）△AF1F2面积的最大值为又＝
2
，则bc＝，
，以及a＝b+c，
2
222
解得a＝4，b＝1， ∴椭圆C的方程为
+y＝1，
2
（2）假设y轴上存在点M（0，t），△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形， 设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为N（x0，y0），
由，消去y可得5x+8mx+4m﹣4＝0，
22
△＝64m﹣20（4m﹣4）＝16（5﹣m）＞0，解得m＜5， ∴x1+x2＝﹣∴x0＝﹣∴N（﹣
，x1x2＝＝﹣，），
，
，y0＝x0+m＝，
2222
依题意有AM⊥BM，MN⊥l，
由MN⊥l，可得×1＝﹣1，可得t＝﹣，由AM⊥BM可得?
＝﹣1，
∵y1＝x1+m，y2＝x2+m，
代入上式化简可得2x1x2+（m﹣t）（x1+x2）+（m﹣t）＝0， 则
﹣（
）+（
2
2
）＝0，
2
解得m＝±1，当m＝1时，点M（0，﹣）满足题意，当m＝﹣1时，点M（0，）满足题意．
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