《数学建模》选题2011
1、选址问题研究
在社会经济发展过程中, 经常需要在系统中设置一个或多个集散物质、传输信息或执行某种服务的“中心”。在设计和规划商业中心、自来水厂、消防站、医院、飞机场、停车场、通讯系统中的交换台站等的时候,经常需要考虑将场址选在什么位置才能使得系统的运行效能最佳。选址问题, 是指在指定的范围内, 根据所要求的某些指标,选择最满意的场址。在实际问题中,也就是关于为需要设置的“设施”选择最优位置的问题。选址问题是一个特殊类型的最优化问题,它属于非线性规划和组合最优化的研究范围。由于它本身所具有的特点,存在着单独研究的必要性和重要性。
1.1 “中心”为点的情形
如图1，有一条河，两个工厂P 和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂 P 和 Q 距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q 输水，请你给出一个经济合理的设计方案。
图1 图2
（即找一点 R ，使 R 到P、Q及直线 l 的距离之和为最小。） 要求和给分标准：
提出合理方案，建立坐标系，分情况定出点R的位置，0分——70分。 将问题引申： （１）、若将直线 L缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一点R，使R到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。 （２）、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图2），该如何选点？
对引申问题给出给出模型和讨论30分——50分。
抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺点讨论扣10分。
1.2 “中心”为线的情形
在油田管网和公路干线的设计中提出干线网络的选址问题： 问题A：在平面上给定n个点P1,P2,?,Pn，求一条直线L，使得
n?i?1wid(Pi,L) （1）
为最小，其中wi表示点Pi的权，d(Pi,L)表示点Pi到第直线L的距离。 问题B：平面上给定n条直线L1,L2,?,Ln, 求一点X, 使
n?i?1wid(X,Li) （2）
为最小，其中wi表示直线Li的权，d(X,Li)表示点X到第直线Li的距离。 问题C：在平面上给定n个点P1,P2,?,Pn，求一条直线L，使得
maxwid(Pi,L) （1）
1?i?n为最小，其中wi表示点Pi的权，d(Pi,L)表示点Pi到第直线L的距离。 问题D：平面上给定n条直线L1,L2,?,Ln, 求一点X, 使
maxwid(X,Li) （2）
1?i?n为最小，其中wi表示直线Li的权，d(X,Li)表示点X到第直线Li的距离。
参考文献
【1】林诒勋, 尚松蒲. 平面上的点—线选址问题[J]. 运筹学学报,2002,6(3):61—68. 【2】尚松蒲, 林诒勋. 平面上的min-max 型点—线选址问题[J]. 运筹学学报,2003,7(3):83—91.
要求和给分标准：
选择问题A和B(或者C和D)进行研究：根据文献重述模型（10分），提出自己的算法(30分)，计算机仿真验证算法的正确性（40分，含如何在平面上随机产生n个点，对每个点随机赋权，按照算法编程实现求干线的程序，并将寻得的干线和点在平面上图示，建议用MATLAB编程）。 将问题引申：
如果同时确定两条、三条干线，应该如何讨论？其他情形的讨论？
对引申问题给出给出模型和讨论20分——30分。
抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺点讨论扣10分。
2 Hsieh模型的参数估计方法研究
(本题目可三人共同完成，但工作量要基本相同，每个人的工作要写清楚)
Hsieh模型为由（1）和（2）构成的如下非线性方程组：
A?E?F?22??1/2 （1）
???tan?1?FE? （2）
其中，
E=1-ωrc2Kei(α)/(2T), F=ωrc2Ker(α)/(2T), α=rw(ωS/T)1/2
A为井水位与不排水条件下含水层孔压的潮汐响应振幅比，称为相对振幅。η为井水位与孔压之间的相位差，取决于含水层的导水（渗透）性能；Ker和Kei分别为开尔文函数(在Matlab中用besselk( )来表示)的实部和虚部；S为储水系数，无量纲；T为导水系数；ω为井水位某潮汐分波频率；rw=0.028m为揭露含水层处井孔半径，或滤水管半径；rc= 0.0445m为井水位波动范围处的井孔套管半径。A和η对S不敏感，但是对T在一定取值区域内敏感。
问题：已知A和η反推S和T及其两者的误差，即求解二元非线性方程组并由A和η的误差估计S和T的误差。
振幅比A和相位差η值(角度值，计算时要转化成弧度值)是通过实际数据求算出来的，存在一定的误差，它们的值及误差见如下数据。 相位移η 误差 振幅比A 误差
-6.485 0.201 0.964629451 0.014 -7.746 0.2 0.973051011 0.014 -8.702 0.18 0.969201155 0.013 -8.24 0.192 0.969682387 0.013 -8.606 0.208 0.978825794 0.015 -7.011 0.219 0.967276227 0.015 -6.66 0.158 0.990615977 0.011 -4.945 0.144 0.986525505 0.01 -6.047 0.158 0.983638114 0.011 -4.503 0.153 0.987247353 0.011 -5.603 0.215 0.985563041 0.015 -5.925 0.161 0.968960539 0.011 -4.702 0.206 0.981713186 0.015 -4.37 0.186 0.98147257 0.013
要求和给分标准：
根据文献重述模型（10分），如：由于A和?可以实验测得，为了便于计算机求解，将Hsieh模型进行等价变形，
1?22?E?F?2，其中E≈1-ωrc2Kei(α)/(2T), F≈ωrc2Ker(α)/(2T), α=rw(ωS/T)1/2 A??F/E??tan??其中rw=0.028， rc= 0.0445m，ω为井水位某潮汐分波频率；
提出自己的求解非线性方程组算法(30分)，如：（1）这是一个非线性方程组求根问题，可以用Newton-Raphson方法求解，求解算法如下：??（2）这是一个非线性方程组求根问题，可以用推广的多元二分法求解，求解算法如下：??（3）等等这是一个非线性方程组求根问题，可以等价转化为求最小值问题，求解算法如下：??。 按照算法的求解S和T及其两者的误差。（40分），注意：求非线性方程组的根和估计根的
误差需要提出两种算法和分别变成求出，建议用MATLAB编程。 将问题引申：
对如何保证算法的收敛性，如何估计误差，给出误差公式讨论？ 20分——30分。
抄袭者零分；无算法者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无算法优缺点讨论扣10分。
提示：（1）由A和η的误差理论上导出S和T的误差界
由《高等数学》下册P86-87隐函数存在定理求出S，T关于A，η的偏导数，再利用P75公式(10)和(11)即可估计绝对和相对误差界。
（2）用BootStrap方法估计误差界。
用《概率论与数理统计》中BootStrap方法估计误差界。 （3）二者进行比较。 参考文献：
廖欣, 刘春平等. 响应是否满足不排水条件的检验[J]．地震学报，2011，33(2):234-242.
4题:写字楼电梯系统的模拟系统
城市繁华地区有一座12层的写字楼，在高峰时间7：50-9：10，人们进入一
楼大厅并乘电梯到所在的楼层，有4部电梯为大楼服务，乘客到达大楼的时间间隔在0-30秒内随机变化，达到后每个乘客第一部可乘的电梯（1-4号），当某人进入电梯后并选择达到楼层后，电梯在关门前等待15秒，如果另一个人在15秒内到达来，这种等待将重新开始，如果15秒内无人到达，电梯就把全体乘客送上去。假定中途没有其他乘客要上电梯。送完最后一个乘客后，电梯回到大厅，途中也不上客人。
一部电梯的最大容量为12人，当一位乘客来到大厅，没有电梯可乘，就开始大厅排队等待。
写字楼的管理者希望提高优质服务，但目前有些乘客抱怨在电梯回来之前，他们在大厅等待的时间太长，也有人抱怨他们在电梯呆的时间太长，还有人说高峰时间大厅太挤，实际情况如何呢？首先对该写字楼电梯系统做理论分析，然后用计算机模拟电梯系统，回答下列问题，：
（1） 在一个典型的早上高峰时间，电梯实际上为多少乘客提供服务？ （2） 如果一个人的等待时间是他在队伍中的时间，即从到达大厅到进入一
部可乘电梯的时间，问一个人在队中等待的平均时间和最长时间是多少？
（3） 最长的队长是多少？（这个问题的回答将向管理者提供大厅拥挤程度
的信息。）
（4） 如果运送时间是一位乘客从到达大厅到他或她到达要去的楼层的时
间，包括等电梯的时间平均运送时间和最长的运送时间是多少？
（5） 一位乘客实际上呆在电梯中的平均时间和最长时间是多少？
（6） 每部电梯停多少次？早高峰时间每部电梯实际上使用时间的百分比是
多少？
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