河南省2019年普通高中招生考试
数 学
本试卷满分120分,考试时间100分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的) 1.?的绝对值是 A.?
1212
12
( )
B. C.2 D.?2
2.成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克.数据“0.000 004 6”用科学记数法表示为 A.46?10?7 A.45o B.48o C.50o D.58o
4.下列计算正确的是 A.2a?3a?6a
C.(x?y)2?x2?y2
( )
B.(?3a)2?6a2 D.32?2?22
( )
B.4.6?10?7
C.4.6?10?6
D.0.46?10?5
( )
3.如图,AB∥CD,?B?75o,?E?27o,则?D的度数为
5.如图1是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图2.关于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是 ( ) A.主视图相同 B.左视图相同 C.俯视图相同 D.三种视图都不相同
6.一元二次方程(x?1)(x?1)?2x?3的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根
图1
图2
( )
B.有两个相等的实数根
D.没有实数根
7.某超市销售A,B,C,D四种矿泉水,它们的单价依次是5元、3元、2元、1元.某天的销售情况如图所示,则这天销售的矿泉水的平均单价是
( ) A.1.95元 B.2.15元 C.2.25元 D.2.75元
8.已知抛物线y??x2?bx?4经过(?2,n)和(4,n)两点,则n的值为 A.?2
12 ( )
B.?4 C.2 D.4
9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,?D?90o,AD?4,BC?3.分别以点A,C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为 ( ) A.22 B.4 C.3 D.10 10.如图,在△OAB中,顶点O(0,0),A(?3,4),B(3,4).将
△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转,每次旋转90o,则第70次
旋转结束时,点D的坐标为 ( ) A.(10,3) B.(?3,10) C.(10,?3) D.(3,?10)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.把答案填写在题中的横线上) 11.计算：4?2?1? .
?x?≤?1,12.不等式组?2的解集是 .
???x?7＞413.现有两个不透明的袋子,一个装有2个红球、1个白球,另一个装有1个黄球、2
个红球,这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球,摸出的两
个球颜色相同的概率是 .
14.如图,在扇形AOB中,?AOB?120o,半径OC交弦AB于点D,且OC?OA.若
OA?23,则阴影部分的面积为 .
15.如图,在矩形ABCD中,AB?1,BC?a,点E在边BC上,且BE??.连接AE,将
△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B?落在矩形ABCD的边上,则a的值
35为 .
三、解答题(本大题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分8分)
x?1x2?2x先化简,再求值：(,其中x?3. ?1)?2x?2x?4x?4
17.(本小题满分9分)
如图,在△ABC中,BA?BC,?ABC?90o.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点
?上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长E是BD交AC于点G.
(1)求证：△ADF?△BDG； (2)填空：
?的中点,则DF的长为 ； ①若AB?4,且点E是BD②取?AE的中点H,当?EAB的度数为 时,四边形OBEH为菱形.
18.(本小题满分9分)
某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试,并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下：
a.七年级成绩频数分布直方图：
b.七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 七 八 根据以上信息,回答下列问题： (1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有 人； (2)表中m的值为 ；
(3)在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分,请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前,并说明理由；
(4)该校七年级学生有400人,假设全部参加此次测试,请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.
19.(本小题满分9分)
数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34o,再
平均数 76.9 79.2 中位数 m 79.5
沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60o,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据：sin34o?0.56,cos34o?0.83,tan34o?0.67,
3?1.73)
20.(本小题满分9分)
学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元. (1)求A,B两种奖品的单价；
(2)学校准备购买A,B两种奖品共30个,且A奖品的数量不少于B奖品数量的
1.请设计出最省钱的购买方案,并说明理由. 3
21.(本小题满分10分)
模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下： (1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x,y.由矩形的面积为4,得xy?4,即y?；由周长为m,得2(x?y)?m,即y??x?________象限内交点的坐标； (2)画出函数图象
函数y?(x＞0)的图象如图所示,而函数y??x?4xm的图象可由直线y??x平移24xm.满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第2得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y??x；
(3)平移直线y??x,观察函数图象
①当直线平移到与函数y?(x＞0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长m的值为 ；
②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长
m的取值范围.
4x(4)得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具,则周长m的取值范围为 .
22.(本小题满分10分)
在△ABC中,CA?CB,?ACB??.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转?得到线段DP,连接AD,BD,CP. (1)观察猜想 如图1,当??60o时,
BD的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角CP的度数是 ； (2)类比探究
如图2,当??90o时,请写出
BD的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度CP数,并就图2的情形说明理由； (3)解决问题
当??90o时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时
AD的值. CP
图1
23.(本小题满分11分)
12
图2
备用图
如图,抛物线y?ax2?x?c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y??x?2经过点A,C.
(1)求抛物线的解析式；
12
(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.
①当△PCM是直角三角形时,求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B?,则平面内存在直线l,使点M,B,B?到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l：y?kx?b的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
备用图
河南省2019年普通高中招生考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题 1.【答案】B
【解析】解：|?|?,故选：B.
【提示】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可. 【考点】绝对值的概念. 2.【答案】C
【解析】解：0.0000046?4.6?10?6.
【提示】本题用科学记数法的知识即可解答. 【考点】科学记数法. 3.【答案】B
1212
【解析】解：∵AB∥CD,
∴?B??1, ∵?1??D??E,
∴?D??B??E?75o?27o?48o, 故选：B.
【提示】根据平行线的性质解答即可. 【考点】平行线的性质,三角形外角的性质. 4.【答案】D
【解析】解：2a?3a?5a,A错误；(?3a)2?9a2,B错误；(x?y)2?x2?2xy?y2,C错
误；32?2?22,D正确；故选：D.
【提示】根据合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方与积的乘方的运算法则进行
运算即可. 【考点】整式的运算. 5.【答案】C
【解析】解：观察几何体,确定三视图,此几何体将上层的小正方体平移后俯视图相
同,故选C.
【提示】根据三视图解答即可. 【考点】几何体的三视图. 6.【答案】A
【解析】解：原方程可化为：x2?2x?4?0, ∴a?1,b??2,c??4, ∴??(?2)2?4?1?(?4)?20＞0, ∴方程由两个不相等的实数根. 故选：A.
【提示】先化成一般式后,再求根的判别式. 【考点】一元二次方程根的情况. 7.【答案】C
【解析】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5?10%?3?15%?2?55%?1?20%?2.25(元),
故选：C.
【提示】根据加权平均数的定义列式计算可得. 【考点】加权平均数的计算. 8.【答案】B
【解析】解：抛物线y??x2?bx?4经过(?2,n)和(4,n)两点, 可知函数的对称轴x?1, ∴?1, ∴b?2； ∴y??x2?2x?4,
将点(?2,n)代入函数解析式,可得n?4； 故选：B.
【提示】根据(?2,n)和(4,n)可以确定函数的对称轴x?1,再由对称轴的x?即可求
解.
【考点】二次函数点的坐标特征,二元一次方程组的解法. 9.【答案】A
【解析】解：如图,连接FC,则AF?FC. ∵AD∥BC, ∴?FAO??BCO. 在△FOA与△BOC中,
??FAO??BCO?, ?OA?OC??AOF??COB?b2b2∴△FOA?△BOC(ASA), ∴AF?BC?3,
∴FC?AF?3,FD?AD?AF?4?3?1. 在△FDC中,∵?D?90o, ∴CD2?DF2?FC2, ∴CD2?12?32, ∴CD?22. 故选：A.
【提示】连接FC,根据基本作图,可得OE垂直平分AC,由垂直平分线的性质得出
AF?FC.再根据ASA证明△FOA?△BOC,那么AF?BC?3,等量代换得到FC?AF?3,利用线段的和差关系求出FD?AD?AF?1.然后在直角△FDC中
利用勾股定理求出CD的长.
【考点】尺规作图,平行线的性质,勾股定理,角平分线的性质,全等三角形的判定与
性质. 10.【答案】D
【解析】解：∵A(?3,4),B(3,4), ∴AB?3?3?6,
∵四边形ABCD为正方形, ∴AD?AB?6, ∴D(?3,10), ∵70?4?17?2,
∴每4次一个循环,第70次旋转结束时,相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形
绕点O顺时针旋转2次,每次旋转90o, ∴点D的坐标为(3,?10). 故选：D.
【提示】先求出AB?6,再利用正方形的性质确定D(?3,10),由于70?4?17?2,所以
第70次旋转结束时,相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次,每次旋转90o,此时旋转前后的点D关于原点对称,于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标. 【考点】图形的旋转,点的坐标的确定.
第Ⅱ卷
二、填空题 11.【答案】
32
【解析】解：4?2?1
?2??1 23. 2故答案为：.
【提示】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点.针对每个考点分别进行
计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【考点】实数的相关运算. 12.【答案】x≤?2
【解析】解：解不等式??1,得：x≤?2, 解不等式?x?7＞4,得：x＜3, 则不等式组的解集为x≤?2, 故答案为：x≤?2.
【提示】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀：同大取大、同小取小、大小小
大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集. 【考点】解不等式组. 13.【答案】
【解析】解：列表如下： 红 红 白 黄 红 红 4932x2(黄,红) (红,红) (红,红) (黄,红) (红,红) (红,红) (黄,白) (红,白) (红,白) 49由表知,共有9种等可能结果,其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果, 所以摸出的两个球颜色相同的概率为, 故答案为：.
【提示】列表得出所有等可能结果,从中找到两个球颜色相同的结果数,利用概率公
式计算可得. 【考点】概率的计算. 14.【答案】3?π
【解析】解：作OE?AB于点F,
49
∵在扇形AOB中,?AOB?120o,半径OC交弦AB于点D,且OC?OA.OA=2∴?AOD?90o,?BOC?90o,OA?OB, ∴?OAB??OBA?30o, ∴OD?OAgtan30o?23?∴BD?2,
∴阴影部分的面积是：S△AOD?S扇形OBC?S△BDO故答案为：3?π.
33?2,AD?4,AB?2AF?2?23??6,OF?3, 32,
23?230?π(23)22?3????3?π,
23602
【提示】根据题意,作出合适的辅助线,然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积,本题得以解决. 【考点】不规则图形面积的计算. 15.【答案】或535 3【解析】解：分两种情况： ①当点B?落在AD边上时,如图1.
图1
∵四边形ABCD是矩形, ∴?BAD??B?90o,
∵将△ABE沿AE折叠,点B的对应点B?落在AD边上, ∴?BAE??B?AE??BAD?45o, ∴AB?BE, ∴a?1, ∴a?；
②当点B?落在CD边上时,如图2.
123553
图2
∵四边形ABCD是矩形,
∴?BAD??B??C??D?90o,AD?BC?a.
∵将△ABE沿AE折叠,点B的对应点B?落在CD边上, ∴?B??AB?E?90o,AB?AB??1,EB?EB??a, ∴DB??B?A2?AD2?1?a2,EC?BC?BE?a?a?5. 在△ADB?与△B?CE中,
??B?AD??EB?C?90o??AB?D, ?o?D??C?90?3535∴△ADB?:△B?CE,
1?a21DB?AB??∴,即, ?23CEB?Eaa555解得a1?,a2?0(舍去).
355综上,所求a的值为或.
3355故答案为或.
33【提示】分两种情况：①点B?落在AD边上,根据矩形与折叠的性质易得AB?BE,
即可求出a的值；②点B?落在CD边上,证明△ADB?:△B?CE,根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值. 【考点】图形的折叠,勾股定理. 三、解答题
16.【答案】解：原式?(?x?1x?2x(x?2)?)? x?2x?2(x?2)23x?2 gx?2x3?, x当x?3时,原式33?3.
【解析】解：原式?(
x?1x?2x(x?2)?)? x?2x?2(x?2)2
3x?2 gx?2x3?, x3当x?3时,原式?3.
3?【提示】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将x的值代入计算可
得.
【考点】分式的化简求值.
17.【答案】解：(1)证明：如图1,∵BA?BC,?ABC?90o,
图1
∴?BAC?45o ∵AB是eO的直径, ∴?ADB??AEB?90o,
∴?DAF??BGD??DBG??BGD?90o ∴?DAF??DBG ∵?ABD??BAC?90o ∴?ABD??BAC?45o ∴AD?BD
∴△ADF?△BDG(ASA)； (2)①4?22 ②30o
【解析】解：(1)证明：如图1,∵BA?BC,?ABC?90o,
图1
∴?BAC?45o ∵AB是eO的直径, ∴?ADB??AEB?90o,
∴?DAF??BGD??DBG??BGD?90o ∴?DAF??DBG ∵?ABD??BAC?90o ∴?ABD??BAC?45o ∴AD?BD
∴△ADF?△BDG(ASA)；
?的中点, (2)①如图2,过F作FH?AB于H,∵点E是BD
图2
∴?BAE??DAE ∵FD?AD,FH?AB ∴FH?FD
FH2, ?sin?ABD?sin45o?BF2FD2∴,即BF?2FD ?BF2∵
∵AB?4,
∴BD?4cos45o?22,即BF?FD?22,(2?1)FD?22 ∴FD?22?4?22 2?1故答案为4?22.
AE的中点, ②连接OE,EH,∵点H是?
∴OH?AE, ∵?AEB?90o ∴BE?AE ∴BE∥OH
∵四边形OBEH为菱形,
12BE1∴sin?EAB??
AB2∴BE?OH?OB?AB
∴?EAB?30o. 故答案为：30o.
【提示】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可得?ADB??AEB?90o,再应用同角的
余角相等可得?DAF??DBG,易得AD?BD,△ADF≌△BDG得证；
(2)作FH?AB,应用等弧所对的圆周角相等得?BAE??DAE,再应用角平分线性质
可得结论；由菱形的性质可得BE?OB,结合三角函数特殊值可得?EAB?30o. 【考点】圆的相关性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,圆周角定理. 18.【答案】(1)23 (2)77.5
(3)甲学生在该年级的排名更靠前.
∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分,其名次在该班25名之前, 八年级学生乙的成绩小于中位数78分,其名次在该班25名之后, ∴甲学生在该年级的排名更靠前.
(4)估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400?5?15?8?224(人). 50【解析】解：(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有15?8?23人,故
答案为：23；
(2)七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数,而第25、26个数据分
别为78、79, ∴m?77?78?77.5, 2
故答案为：77.5；
(3)甲学生在该年级的排名更靠前.
∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分,其名次在该班25名之前, 八年级学生乙的成绩小于中位数78分,其名次在该班25名之后, ∴甲学生在该年级的排名更靠前.
(4)估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400?5?15?8?224(人). 50【提示】(1)根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得； (2)根据中位数的定义求解可得；
(3)将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；
(4)用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得. 【考点】统计知识的实际应用.
19.【答案】解：∵?ACE?90o,?CAE?34o,CE?55m,
CE, ACCE55∴AC???82.1m,
tan34o0.67∴tan?CAE?∵AB?21m,
∴BC?AC?AB?61.1m, 在Rt△BCD中,tan60o?CD?3, BC∴CD?3BC?1.73?61.1?105.7m, ∴DE?CD?EC?105.7?55?51m, 答：炎帝塑像DE的高度约为51 m.
【解析】解：∵?ACE?90o,?CAE?34o,CE?55m,
CE, ACCE55∴AC???82.1m,
tan34o0.67∴tan?CAE?∵AB?21m,
∴BC?AC?AB?61.1m, 在Rt△BCD中,tan60o?CD?3, BC∴CD?3BC?1.73?61.1?105.7m, ∴DE?CD?EC?105.7?55?51m, 答：炎帝塑像DE的高度约为51 m. 【提示】由三角函数求出AC?
CE?82.1m,得出BC?AC?AB?61.1m,在tan34o
Rt△BCD中,由三角函数得出CD?3BC?105.7m,即可得出答案.
【考点】解直角三角形的实际应用.
20.【答案】解：(1)设A的单价为x元,B的单价为y元, 根据题意,得?∴??x?30, y?15??3x?2y?120,
5x?4y?210?∴A的单价30元,B的单价15元；
(2)设购买A奖品z个,则购买B奖品为个,购买奖品的花费为W元, （30-z）由题意可知,z≥(30?z), ∴z≥15, 213W?30z?15(30?z)?450?15z,
当z?8时,W有最小值为570元,
即购买A奖品8个,购买B奖品22个,花费最少. 【解析】解：(1)设A的单价为x元,B的单价为y元, 根据题意,得?∴??x?30, y?15??3x?2y?120,
5x?4y?210?∴A的单价30元,B的单价15元；
(2)设购买A奖品z个,则购买B奖品为个,购买奖品的花费为W元, （30-z）由题意可知,z≥(30?z), ∴z≥15, 213W?30z?15(30?z)?450?15z,
当z?8时,W有最小值为570元,
即购买A奖品8个,购买B奖品22个,花费最少.
【提示】(1)设A的单价为x元,B的单价为y元,根据题意列出方程组?即可求解；
(2)设购买A奖品z个,则购买B奖品为(30?z)个,购买奖品的花费为W元,根据题
意得到由题意可知,z≥(30?z),W?30z?15(30?z)?450?15z,根据一次函数的性质,即可求解.
【考点】二元一次方程组,不等式及一次函数解决实际问题.
?3x?2y?120,
5x?4y?210?13
21.【答案】(1)一 (2)图象如下所示：
(3)①8
②在直线平移过程中,交点个数有：0个、1个、2个三种情况, 联立y?和y??x?4x1m并整理得：x2?mx?4?0,
221??m2?4?4≥0时,两个函数有交点,
4解得：m≥8； (4)m≥8
【解析】解：(1)x,y都是边长,因此,都是正数, 故点(x,y)在第一象限, 答案为：一； (2)图象如下所示：
(3)①把点(2,2)代入y??x?m得： 2
2??2?m,解得：m?8； 24x1m并整理得：x2?mx?4?0,
22②在直线平移过程中,交点个数有：0个、1个、2个三种情况, 联立y?和y??x?1??m2?4?4≥0时,两个函数有交点,
4解得：m≥8； (4)由(3)得：m≥8.
【提示】(1)x,y都是边长,因此,都是正数,即可求解； (2)直接画出图象即可； (3)①把点?2,2?代入y??x?m即可求解；②在直线平移过程中,交点个数有：0个、2m141个、2个三种情况,联立y?和y = ?x ? 并整理得：x2?mx?4?0,即可
22x求解； (4)由(3)可得.
【考点】反比例函数与一次函数图象的应用. 22.【答案】1
60o
(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.
图2
∵?PAD??CAB?45o, ∴?PAC??DAB, ∵
ABAD??2, ACAPBDAB??2, PCAC∴△DAB:△PAC, ∴?PCA??DBA,
∵?EOC??AOB, ∴?CEO??OABB?45o,
∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45o.
(3)如图3-1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.
图3-1
∵CE?EA,CF?FB, ∴EF∥AB,
∴?EFC??ABC?45o, ∵?PAO?45o, ∴?PAO??OFH, ∵?POA??FOH, ∴?H??APO, ∵?APC?90o,EA?EC, ∴PE?EA?EC, ∴?EPA??EAP??BAH, ∴?H??BAH, ∴BH?BA,
∵?ADP??BDC?45o, ∴?ADB?90o, ∴BD?AH,
∴?DBA??DBC?22.5o, ∵?ADB??ACB?90o, ∴A,D,C,B四点共圆,
?DAC??DBC?22.5o,?DCA??ABD?22.5o,
∴?DAC??DCA?22.5o,
∴DA?DC,设AD?a,则DC?AD?a,PD = ∴
AD?CPa2a?a2?2?2.
2a, 2如图3-2中,当点P在线段CD上时,同法可证：DA?DC,设AD?a,则CD?AD?a,
PD = 2a, 2
图3-2
2a, 2ADa∴??2?2. PC2a?a2∴PC?a?【解析】解：(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.
图1
∵?PAD??CAB?60o, ∴?CAP??BAD, ∵CA?BA,PA?DA, ∴△CAP?△BAD(SAS), ∴PC?BD,?ACP??ABD, ∵?AOC??BOE, ∴?BEO??CAO?60o, ∴
BD?1,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60o, PC故答案为1,60o.
(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.
图2
∵?PAD??CAB?45o, ∴?PAC??DAB, ∵
ABAD??2, ACAPBDAB??2, PCAC∴△DAB:△PAC, ∴?PCA??DBA,
∵?EOC??AOB, ∴?CEO??OABB?45o,
∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45o.
(3)如图3-1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.
图3-1
∵CE?EA,CF?FB, ∴EF∥AB,
∴?EFC??ABC?45o, ∵?PAO?45o, ∴?PAO??OFH, ∵?POA??FOH, ∴?H??APO, ∵?APC?90o,EA?EC, ∴PE?EA?EC, ∴?EPA??EAP??BAH, ∴?H??BAH, ∴BH?BA,
∵?ADP??BDC?45o, ∴?ADB?90o, ∴BD?AH,
∴?DBA??DBC?22.5o, ∵?ADB??ACB?90o,
∴A,D,C,B四点共圆,
?DAC??DBC?22.5o,?DCA??ABD?22.5o,
∴?DAC??DCA?22.5o,
∴DA?DC,设AD?a,则DC?AD?a,PD = ∴
AD?CPaa?2a2?2?2.
2a, 2如图3-2中,当点P在线段CD上时,同法可证：DA?DC,设AD?a,则CD?AD?a,
PD = 2a, 2
图3-2
2a, 2ADa∴??2?2. PC2a?a2∴PC?a?【提示】(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.证明
△CAP≌△BAD(SAS),即可解决问题.
(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.证明△DAB∽△PAC,即可解
决问题.
(3)分两种情形：①如图3-1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于
H.证明AD=DC即可解决问题.
②如图3-2中,当点P在线段CD上时,同法可证：DA?DC解决问题. 【考点】图形变换,规律探究.
23.【答案】解：(1)当x?0时,y??x?2??2, ∴点C的坐标为(0,?2)； 当y?0时,?x?2?0, 解得：x??4,
∴点A的坐标为(?4,0).
1212
将A(?4,0),C(0,?2)代入y?ax2?x?c,得：
1??16a?2?c?0?a?,解得：?4, ?c??2???c??211∴抛物线的解析式为y?x2?x?2.
4212(2)①∵PM?x轴, ∴?PMC?90o,
∴分两种情况考虑,如图1所示.
图1
(i)当?MPC?90o时,PC∥x轴, ∴点P的纵坐标为?2. 当y??2时,x2?x?2??2, 解得：x1??2,x2?0, ∴点P的坐标为(?2,?2)；
(ii)当?PCM?90o时,设PC与x轴交于点D. ∵?OAC??OCA?90o,?OCA??OCD?90o, ∴?OAC??OCD. 又∵?AOC??COD?90o, ∴△AOC:△COD, ∴
ODOCOD2,即??,
OCOA241412∴OD?1,
∴点D的坐标为(1,0).
设直线PC的解析式为y?kx?b(k?0), 将C(0,?2),D(1,0)代入y?kx?b,得：
?b??2?k?2,解得：, ??k?b?0b??2??
∴直线PC的解析式为y?2x?2.
?y?2x?2?联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,得：?, 121y?x?x?2?42??x?0?x?6解得：?1,?2,
y??2y?10?1?2点P的坐标为(6,10).
综上所述：当△PCM是直角三角形时,点P的坐标为(?2,?2)或(6,10). ②当y?0时,x2?x?2?0, 解得：x1??4,x2?2, ∴点B的坐标为(2,0).
∵点P的横坐标为m(m＞0且m?0),
1211∴直线PB的解析式为y?(m?4)x?(m?4)(可利用待定系数求出).
42141412∴点P的坐标为(m,m2?m?2),
∵点B,B?关于点C对称,点B,B?,P到直线l的距离都相等, ∴直线l过点C,且直线l∥直线PB, ∴直线l的解析式为y?(m?4)x?2.
14
【解析】解：(1)当x?0时,y??x?2??2, ∴点C的坐标为(0,?2)； 当y?0时,?x?2?0, 解得：x??4,
∴点A的坐标为(?4,0).
将A(?4,0),C(0,?2)代入y?ax2?x?c,得：
121212
1??16a?2?c?0?a?,解得：?4, ?c??2???c??211∴抛物线的解析式为y?x2?x?2.
42(2)①∵PM?x轴, ∴?PMC?90o,
∴分两种情况考虑,如图1所示.
图1
(i)当?MPC?90o时,PC∥x轴, ∴点P的纵坐标为?2. 当y??2时,x2?x?2??2, 解得：x1??2,x2?0, ∴点P的坐标为(?2,?2)；
(ii)当?PCM?90o时,设PC与x轴交于点D. ∵?OAC??OCA?90o,?OCA??OCD?90o, ∴?OAC??OCD. 又∵?AOC??COD?90o, ∴△AOC:△COD, ∴
ODOCOD2,即??,
OCOA241412∴OD?1,
∴点D的坐标为(1,0).
设直线PC的解析式为y?kx?b(k?0), 将C(0,?2),D(1,0)代入y?kx?b,得：
?b??2?k?2,解得：, ??k?b?0b??2??∴直线PC的解析式为y?2x?2.
?y?2x?2?联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,得：?, 121y?x?x?2?42??x?0?x?6解得：?1,?2,
y??2y?10?1?2点P的坐标为(6,10).
综上所述：当△PCM是直角三角形时,点P的坐标为(?2,?2)或(6,10). ②当y?0时,x2?x?2?0, 解得：x1??4,x2?2, ∴点B的坐标为(2,0).
∵点P的横坐标为m(m＞0且m?0),
1211∴直线PB的解析式为y?(m?4)x?(m?4)(可利用待定系数求出).
42141412∴点P的坐标为(m,m2?m?2),
∵点B,B?关于点C对称,点B,B?,P到直线l的距离都相等, ∴直线l过点C,且直线l∥直线PB, ∴直线l的解析式为y?(m?4)x?2.
14
【提示】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A,C的坐标,根据点A,C
的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式；
(2)①由PM?x轴可得出?PMC?90o,分?MPC?90o及?PCM?90o两种情况考虑：(i)
当?MPC?90o时,PC∥x轴,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；(ii)当?PCM?90o时,设PC与x轴交于点D,易证△AOC:△COD,利用相似三角形的性质可求出点D的坐标,根据点C,D的坐标,利用待定系数法可求出直线PC的解析式,联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P的坐标.综上,此问得解；
②利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B,P的坐标,根据点P,B的坐标,利
用待定系数法可求出直线PB的解析式,结合题意可知：直线l过点C,且直线
l∥直线PB,再结合点C的坐标即可求出直线l的解析式.
【考点】二次函数的图象和性质,直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,中
位线定理,一次函数的性质,分类讨论思想.
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