甘肃省天水一中2018届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题有答案

数学

天水市一中2015级2017—2018学年度第二学期第

一次模拟考试 试卷（文科）

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.设全集U是实数集R，M＝{x|x>2}，N＝{x|1

A．{x|2

2．已知(－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i是虚数单位，是z的共轭复数)，则z的虚部为( ) A．1 B．－1 C．i D．－i

π

3．已知命题p：?x∈(－∞，0)，2x＜3x；命题q：?x∈2，tan x＞sin x，则下列命题为真命题的是( )

A．p∧q B．p∨(q) C．(p)∧q D．p∧(q)

OAOBOCOD

4．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则→＋→＋→＋→等于( )

OMOMOMOMA.→ B．2→ C．3→ D．4→

ππ

5..函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－2＜φ＜2) 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )

π

A．2，－3 π

C．4，－6

π

B．2，－6

π

D．4，3

6.四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且

＝2.347x－6.423； ②y与x负相关且

＝－3.476x＋5.648； ＝－4.326x－4.578.

③y与x正相关且＝5.437x＋8.493； ④y与x正相关且

其中一定不正确的结论的序号是( ) ．．．A．①② C．③④

B．②③ D．①④

7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是 A．

B．

C． D．

x－y≥1，

8. 设x，y满足x－2y≤2，则z＝x＋y( )

A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 9．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，则S10的值为 ( )．

A．－110 B．－90 C．90 D．110

10．某程序框图如图所示，若输出的k的值为3，则输入的x的取值范围为( )

A．[15,60) B．(15,60] C．[12,48) D．(12,48]

11.若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )

3311A.2 B.，＋∞ C.2 D.，＋∞

51

12．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S1，S2，S4成等比数列，且a3＝－2，则数列an的前n项和Tn＝( )

nn2n2n

A．－2n＋1 B.2n＋1 C．－2n＋1 D.2n＋1

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

y2x2

13．双曲线Γ：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________． 14.已知15.设 a＞b＞1，

，则不等式

，给出下列三个结论：

的解集为

① ＞ ；② ＜ ； ③ ， 其中所有的正确结论的序号是 （填

上所有正确答案的序号.） 16. 已知三.解答题

17．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cos B＝1－cos Acos C.

(1)求证：a，b，c成等比数列；

(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．

，圆上存在点，满足条件 ，则实数的取值范围为__________．

18.(本小题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．

(1)应收集多少位女生的样本数据？

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图14所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．

图14

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体

育运动时间与性别有关”．

0.10 0.05 0.010 0.005 P(K2≥k0) k0 2.706 3.841 6.635 7.879 n（ad－bc）22

附：K＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．

(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

1

(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝3Sh，其中S为底面面积，h为高)

20.(本小题满分12分)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．

5

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋2x2＋ax＋b(a，b为常数)，其图象是曲线C.

(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；

(2)设函数f(x)的导函数为f ′(x)，若存在唯一的实数x0，使得f(x0)＝x0与f ′(x0)＝0同时成立，求实数b的取值范围．

22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.

(1)写出Γ的参数方程；

(2)设直线l：3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x－a|.

(1)若f(x)＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，求实数a、b的值；

(2)若a＝2时，不等式f(x)＋m≥f(x＋2)对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．

天水市一中2015级2017—2018学年度第二学期第一次模拟考试

数学答案

1.解：图中阴影部分表示集合?UM与集合N的交集，∵?UM＝{x|x≤2}，N＝{x|1＜x＜3}，∴(?UM)∩N＝{x|1＜x≤2}．故选C.

4＋3i(4＋3i

2．解析：选A.因为＝2－i＋1－3i＝(2－i＋1－3i＝1＋2i＋1－3i＝2－i，所以z＝2＋i，z的虚部为1，故选A.

3．解析：选C.根据指数函数的图象与性质知命题p是假命题，则綈p是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q是真命题，故选C.

OAOCOMOBODOMOA

4．解析：选D.因为M是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，所以→＋→＝2→，→＋→＝2→，所以→＋OBOCODOM

→＋→＋→＝4→，故选D.

T11π5ππ2π5π5πππ

5.解：由图可知，2＝12－12＝2，T＝π，ω＝T＝2.∵点，2在图象上，∴2·12＋φ＝2＋2kπ，φ＝－3＋

πππ

2kπ，k∈Z. 又－2＜φ＜2，∴φ＝－3.故选A.

6.解：当y与x正相关时，应满足斜率大于0；当y与x负相关时，应满足斜率小于0，故①④一定不正确．故选D.

7案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。

8.解：画出不等式表示的平面区域，如图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z取得最小值为zmin＝2＋0＝2，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区域，y＝－x＋z向右上方移动时，z＝x＋y也趋于无穷大，所以z＝x＋y无最大值，故选B.

22

9．D.解析 [a7是a3与a9的等比中项，公差为－2，所以a7＝a3·a9，所以a7＝(a7＋8)(a7－4)，所以9

a7＝8，所以a1＝20，所以S10＝10×20＋10×2×(－2)＝110.]

x

10．解析：选B.根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组－3≤3，解得15＜x≤60，故选B.

1（2x－1）（2x＋1）11

11.解：∵f ′(x)＝4x－x＝x(x＞0)，∴当x∈2时，f(x)单调递减；当x∈，＋∞时，f(x)单调递

13

增．由题意知， 解得1≤k＜2.故选A.

a3－a13515

12．解析：选C.设{an}的公差为d，S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋2＝2a1－4，S4＝3a3＋a1＝a1－2， 因为

515

S1，S2，S4成等比数列，所以42＝2a1，

251

整理得4a1＋12a1＋5＝0，所以a1＝－2或a1＝－2.

51a3－a1

当a1＝－2时，公差d＝0不符合题意，舍去；当a1＝－2时，公差d＝2＝－1，

111

所以an＝－2＋(n－1)×(－1)＝－n＋2＝－2(2n－1)，

121

所以(2n＋1＝－(2n－1＝－2n＋1，所以其前n项和

112n

Tn＝－2n＋1＝－2n＋1＝－2n＋1，故选C.

a|5b|5b

13．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y＝bx，即ax－by＝0的距离为a2＋b2＝c＝b＝3，所以a＝4,2a＝8. 答案：8

14.【解析】，因为所以是偶函数。 所以又以

等价于

，又

，所以

＞

，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；

所以

所以

变形为：在

单调递增，在

单调递减。所

15.【解析】由不等式及a＞b＞1知由a＞b＞1，16.【答案】

， 所以

所以点在圆心为有公共点， 因为圆的圆心 解得

或

，半径为，半径为知

【解析】 设

，由对数函数的图像与性质知③正确. 填①.②.③ ， 因为，即

，圆，

的圆上， 又点在圆

上， 所以圆与圆上存在点，满足条件

， 所以，所以

.

，

，所以实数的取值范围为

17．解：(1)在△ABC中，cos B＝－cos(A＋C)．由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cos Acos C，∴－sin2B－(cos Acos C－sin Asin C)＝－cos Acos C，

化简，得sin2B＝sin Asin C．由正弦定理，得b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．

a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1

(2)由(1)及题设条件，得ac＝4. 则cos B＝2ac＝2ac≥2ac＝2，

13

当且仅当a＝c时，等号成立．∵0＜B＜π，∴sin B＝≤ 2＝2.

113

∴S△ABC＝2acsin B≤2×4×2＝. ∴△ABC的面积的最大值为.

4500

18..解： (1)300×15 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．

(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.

(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运

动时间与性别列联表如下：

男生 女生 45 30 每周平均体育运动时间不超过4小时 165 60 每周平均体育运动时间超过4小时 210 90 总计 300×（165×30－45×60）2100结合列联表可算得K2＝75×225×210×90＝21≈4.762>3.841. 所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

总计 75 225 300 19.解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，∵l?平面A1BC，BC?平面A1BC，∴l∥平面A1BC.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴BC⊥AD.∴l⊥AD.∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥l.又∵AD∩AA1＝A.∴直线l⊥平面ADD1A1.

(2)过D作DE⊥AC于E，∵AA1⊥平面ABC，∴DE⊥AA1.又∵AC，AA1?平面AA1C1C，且AC∩AA1＝A，∴DE⊥

33

平面AA1C1C.由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°.在△ACD中，DE＝2AD＝2，又S△A1QC1

111333＝2A1C1·AA1＝1，∴VA1QC1D＝VDA1QC1＝3DE·S△A1QC1＝3×2×1＝6.因此三棱锥A1QC1D的体积是6

x2y2

20.解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为4＋2＝1.∴a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭

c2

圆C的离心率e＝a＝2.

(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：

OAOB

设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.∵OA⊥OB，∴→·→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t2y0t2

＝－x0. 当x0＝t时，y0＝－2，代入椭圆C的方程，得t＝±，

故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝，此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．

y0－2

当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝x0－t(x－t)，即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0，

|2x0－ty0|222y0

圆心O到直线AB的距离d＝（y0－2）2＋（x0－t）2 .又x0＋2y0＝4，t＝－x0，故

d＝=

＝，此时直线AB与圆x2＋y2＝2

21.解：(1)当a＝－2时，f ′(x)＝3x2＋5x－2＝(3x－1)(x＋2)．

11

令f ′(x)＜0，解得－2＜x＜3，所以f(x)的单调递减区间为3.

23222

(2)f ′(x)＝3x＋5x＋a，由题意知000＋ax0＋b＝x0，

3525

消去a，得2x0＋2x0＋x0－b＝0有唯一解．令g(x)＝2x3＋2x2＋x，则

g′(x)＝6x2＋5x＋1＝(2x＋1)(3x＋1)，

111

所以g(x)在区间2，，＋∞上是增函数，在3上是减函数，

111771

又g2＝－8，g3＝－54，故实数b的取值范围是54∪，＋∞.

x＝2x1y22

22．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为Γ上的点(x，y)，依题意，得y＝3y1，即3.由x1＋y1＝1，xyx2y2x＝2cos t

得22＋32＝1.即曲线Γ的方程为4＋9＝1. 故Γ的参数方程为y＝3sin t(t为参数)．

＝1x＝2x＝03

(2)由3x＋2y－6＝0，解得y＝0，或y＝3.不妨设P1(2,0)，P2(0,3)，则线段P1P2的中点坐标为2，所求直线的斜率k232

＝3.于是所求直线方程为y－2＝3(x－1)，即4x－6y＋5＝0. 化为极坐标方程，得4ρcos θ－6ρsin θ＋5＝0.

a－ba＋ba＋ba＝1

23．解：(1)∵|2x－a|＜b，∴2＜x＜2，∵f(x)＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，∴＝2，∴b＝3. (2)由已知，得m≥f(x＋2)－f(x)＝|2x＋2|－|2x－2|对一切实数x均成立，

又|2x＋2|－|2x－2|≤|(2x＋2)－(2x－2)|＝4，∴m≥4.