3.4导数在实际生活中的应用(3)

盐城市盐阜中学 高一年级 数学 学科导学案

执笔人：胥 开 审核人： 2010 年 4 月 5 日 3.4

导数在实际生活中的应用 （3） 第 14 课时

一、学习目标

1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题；

2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 二、学法指导

在实际问题中，有f?(x)?0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值 三、范例讲解 1．书例4

2．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）、如果C(x)＝10x?0.003x?5x?1000，那么生产多少单位产品时，边际C?(x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)

（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？

变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量

?632q的函数关系式为p?25?1q．求产量q为何值时，利润L最大？ 8分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．

3．计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域． （1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的

格言警句：

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R?r。由于每条磁道上的比特数相同，m2?r为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。nR?r2?r2??r(R?r) 所以，磁盘总存储量f(r)?×mmnn（1）它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达的存储量越大． （2）为求f(r)的最大值，计算f?(r)?0． f?(r)?2??R?2r? mn令f?(r)?0，解得r?R 2当r?RR时，f?(r)?0；当r?时，f?(r)?0． 22R时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 2因此r?数的最大（小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。 四、课堂小结 用导数求解优化问题的基本步骤： （1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y与自变量x，把实际问题转化 为数学问题，列出适当的函数关系式y?f?x?，并确定函数的定义区间； （2）求f'?x?，解方程f'?x??0，得出所有实数根； （3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值 五、作业：习题3.4 3、4 六、教后反思

格言警句：