3．3.2 简单的线性规划问题(二)
学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性函数的最值．
最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
知识点一 非线性约束条件
思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x－a)＋(y－b)≤r的可行域．
2
2
2
答案
梳理 非线性约束条件的概念．约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件．
知识点二 非线性目标函数
x＋y≥6，??
思考 在问题“若x、y满足?x≤4，
??y≤4，
求z＝
y－1
的最大值”中，你能仿照目标函数x－1
y－1
z＝ax＋by的几何意义来解释z＝的几何意义吗？
x－1
答案 z＝
y－1
的几何意义是点(x，y)与点(1,1)连线的斜率． x－1
梳理 下表是一些常见的非线性目标函数.
目标函数 目标函数变形 几何意义 最优解求法 平移直线y＝－x，z＝ax＋by (ab≠0) azy＝－x＋ bb在y轴上的截距是 zbab使在y轴上的截距最大(或最小) (x－a)＋(y－2令m＝(x－a)＋(y－22改变圆(x－a)＋(y点(x，y)与点(a，b)距离的平方 －b)＝r的半径，寻求可行域最先(或最后)与圆的交点 222b)，则目标函数为(m) 22b)
绕定点(a，b)旋转直y－b x－a 点(x，y)与定点(a，线，寻求与可行域最先(或最后)相交时的直线斜率 b)连线的斜率 |ax＋by＋c|(a＋b≠0) 22a＋b· |ax＋by＋c| a2＋b222点(x，y)到直线ax＋平移直线ax＋by＋c＝0，寻求与可行域最先(或最后)相交时的交点 by＋c＝0距离的a＋b倍 22
类型一 生活实际中的线性规划问题
例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)
解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件，获取的利润为z百元， 则z＝2x＋y(百元) 6x＋2y≤24，
??x＋y≤5，?5y≤15，??x，y∈N，
作出可行域如图阴影部分中的整点：
?73?由图可得O(0,0)，A(0,3)，B(2,3)，C?，?，D(4,0)．
?22?
平移直线y＝－2x＋z，又x，y∈N，所以当直线过点(3,2)或(4,0)时，z有最大值． 所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大． 反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直
接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．
跟踪训练1 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？
解 设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，把所给的条件表示成不等式组，
??y≥x，即约束条件为?y≤1.5x，
x∈N，??y∈N.
??50x＋20y＝2000，
由?
?y＝x，?
50x＋20y≤2000，
200
x＝，??7解得?200
y＝??7，
所以A点的坐标为?
?200，200?. 7??7?
x＝25，??
解得?75
y＝，?2?
??50x＋20y＝2000，
由???y＝1.5x，
75
所以B点坐标为(25，)．
2所以满足条件的可行域是以A?
?200，200?，B?25，75?，
???7??2??7
O(0，0)为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，
75??由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内经过点B?25，?时取得最大值，
2??
??x＝25，
但注意到x∈N，y∈N，故取?
?y＝37.?
故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．
类型二 非线性目标函数的最值问题 命题角度1 斜率型目标函数
2x＋y－2≥0，??
例2 已知实数x，y满足约束条件?x－2y＋4≥0，
??3x－y－3≤0.试求z＝
y＋1
的最大值和最小值． x＋1
解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示， 由于z＝
y＋1y－(－1)
＝， x＋1x－(－1)
故z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率， 因此
y＋1
的最值是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值， x＋1
由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)， 1
∴zmax＝kMB＝3，zmin＝kMC＝.
21
∴z的最大值为3，最小值为. 2引申探究
3y＋1
1．把目标函数改为z＝，求z的取值范围．
2x＋1133
解 z＝·，
21x＋2
y＋
131??1
其中k＝的几何意义为点(x，y)与点N?－，－?连线的斜率．
3?1?2
x＋2
y＋
214
由图易知，kNC≤k≤kNB，即≤k≤，
93131
∴≤k≤7，∴z的取值范围是[，7]． 323
2x＋y＋12．把目标函数改为z＝，求z的取值范围．
x＋12(x＋1)＋y－1y－1
解 z＝＝＋2.
x＋1x＋1设k＝
y－11
，仿例2解得－≤k≤1. x＋12
3
∴z∈[，3]．
2
命题角度2 两点间距离型目标函数
2x＋y－2≥0，??
例3 已知x，y满足约束条件?x－2y＋4≥0，
??3x－y－3≤0，试求z＝x＋y的最大值和最小值．
解 z＝x＋y表示可行域内的点到原点的距离的平方，
结合图形(例2图)知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小． |OB|·|OC|?2?2×1?24?故zmax＝|OA|＝13，zmin＝??＝??＝. ?|BC|??5?5
22
22
2
反思与感悟 (1)对于形如问题．
cx＋dy＋f的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率
ax＋b(2)当斜率k、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．
x－4y＋3≤0，??
跟踪训练2 变量x、y满足约束条件?3x＋5y－25≤0，
??x≥1.
(1)设z＝，求z的最小值；
yx
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