第二讲 因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．
一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：
(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3 (立方和公式) (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3 (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2) a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)
这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．
运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：
(1) 8?x
3
3
(2) 0.125?27b
3分析： (1)中，8?2，(2)中0.125?0.53,27b3?(3b)3． 解：(1) 8?x3?23?x3?(2?x)(4?2x?x2)
(2) 0.125?27b3?0.53?(3b)3?(0.5?3b)[0.52?0.5?3b?(3b)2]
?(0.5?3b)(0.25?1.5b?9b2)
说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如
8a3b3?(2ab)3，这里逆用了法则(ab)n?anbn；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，
一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：
(1) 3ab?81b
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(2) a?ab
6676分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现a?b，
8
可看着是(a3)2?(b3)2或(a2)3?(b2)3．
解：(1) 3a3b?81b4?3b(a3?27b3)?3b(a?3b)(a2?3ab?9b2)．
(2) a7?ab6?a(a6?b6)?a(a3?b3)(a3?b3)
?a(a?b)(a2?ab?b2)(a?b)(a2?ab?b2)?a(a?b)(a?b)(a?ab?b)(a?ab?b)2222
二、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma?mb?na?nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
1．分组后能提取公因式
【例3】把2ax?10ay?5by?bx分解因式．
分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然
后从两组分别提出公因式2a与?b，这时另一个因式正好都是x?5y，这样可以继续提取公因式．
解：2ax?10ay?5by?bx?2a(x?5y)?b(x?5y)?(x?5y)(2a?b)
说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．
【例4】把ab(c?d)?(a?b)cd分解因式．
2222 分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．
解：ab(c?d)?(a?b)cd?abc?abd?acd?bcd
22222222?(abc2?a2cd)?(b2cd?abd2)
?ac(bc?ad)?bd(bc?ad)?(bc?ad)(ac?bd)
说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．
2．分组后能直接运用公式
【例5】把x?y?ax?ay分解因式．
22 分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x?y；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是x?y.
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解：x2?y2?ax?ay?(x?y)(x?y)?a(x?y)?(x?y)(x?y?a)
【例6】把2x2?4xy?2y2?8z2分解因式．
分析：先将系数2提出后，得到x2?2xy?y2?4z2，其中前三项作为一组，它是一
个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
解：2x2?4xy?2y2?8z2?2(x2?2xy?y2?4z2)
?2[(x?y)2?(2z)2]?2(x?y?2z)(x?y?2z)
说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．
三、十字相乘法
1．x2?(p?q)x?pq型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．
x2?(p?q)x?pq?x2?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)
因此，x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解：
(1) x?7x?6
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(2) x?13x?36
2解：(1) ? 6?(?1)?(?6),(?1)?(?6)??7
? x?7x?6?[x?(?1)x][??(6)?x](2) ? 36?4?9,4?9?13
? x?13x?36?x(?4x)(? 9)22．(?x1)?( 6)说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项
系数的符号相同． 【例8】把下列各式因式分解：
(1) x?5x?24
2
(2) x?2x?15
2解：(1) ? ?24?(?3)?8,(?3)?8?5
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? x2?5x?24?x[?(?3)x](?(2) ? ?15?(?5)?3,(?5)?3??2 ? x2?2x?15?x[?(?5)x](? ?8?)x(?x3)(8) ?3?)x(?x5)(3)说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的
因数与一次项系数的符号相同．
练：(1)x2?6x?5 (2)x2?4x?21 （3）x?11x?30 （4）x?x?12
【例9】把下列各式因式分解：
(1) x2?xy?6y2
(2) (x2?x)2?8(x2?x)?12
22分析：(1) 把x2?xy?6y2看成x的二次三项式，这时常数项是?6y2，一次项系数是
y，把?6y2分解成3y与?2y的积，而3y?(?2y)?y，正好是一次项系数．
(2) 由换元思想，只要把x?x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解
22二次三项式a?8a?12．
解：(1) x2?xy?6y2?x2?yx?62?(x?3y)(x?2y)
(2) (x?x)?8(x?x)?12?(x?x?6)(x?x?2)
22222?(x?3)(x?2)(x?2)(x?1)
4263练：（1）x?7x?18 （2）a?a?12
2．一般二次三项式ax?bx?c型的因式分解
大家知道，(a1x?c1)(a2x?c2)?a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2． 反过来，就得到：a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2) 我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1a,2c,1c,222写成
a1a2c1，?c2这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2?a2c1，如果它正好等于ax?bx?c的一次项系数b，那么ax?bx?c就可以分解成(a1x?c1)(a2x?c2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确
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