3．2 同角三角函数基本关系与诱导公式
一、选择题
445
－π?的值是( ) 1．sinπ·cosπ·tan??3?36
3333A．－ B.
4433
C．－ D. 44
π?π－π?·?－π－π?＝?－sinπ?·?－cosπ?·?－tanπ?＝π＋?·解析：原式＝sin?costan3?3??6??3??3??6???33?－3?·?－3?·(－3)＝－ 4?2??2?
答案：A
5
2．α是第四象限角，tanα＝－，则sinα等于( )
12
11A. B．－ 5555C. D．－ 1313
22
??sinα＋cosα＝1，5
解析：∵?sinα解得sinα＝±. 513
??cosα＝－12，
又∵α为第四象限角，∴sinα＜0. 5
∴sinα＝－.故选D.
13
答案：D
5
3．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限的角，则sin(－2π＋α)＝( )
13
1212A．－ B. 1313125C．± D. 1312
55
解析：由cos(α－π)＝－得，cosα＝，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－
1313
12
1－cos2α＝－，所以选A.
13
答案：A
4．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝( ) 1
A. B．2 2
1
C．－ D．－2
2
??①
解析：由?sinα＋cosα＝1，
??②
2
2
cosα＋2sinα＝－5，
)
将①代入②得(5sinα＋2)2＝0，
255∴sinα＝－，cosα＝－.∴tanα＝2.故选B.
55
答案：B
sin?kπ＋α?cos?kπ＋α?
5．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
sinαcosα
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
sinαcosα
解析：当k为偶数时，A＝＋＝2，
sinαcosα－sinαcosα
k为奇数时，A＝－＝－2.
sinαcosα
答案：C
1
6．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg＝n，则lg sinA的值为( )
1－cosA
1
A．m＋ B．m－n
n111
m＋? D.(m－n) C.?n?2?2
1
解析：两式相减得lg(1＋cosA)－lg＝m－n?lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n?
1－cosAlgsin2A＝m－n，
∵A为锐角，∴sinA＞0，
m－n
∴2lg sinA＝m－n，∴lg sinA＝. 2
答案：D 二、填空题
π1
α＋?＝__________. 7．如果cosα＝，且α是第四象限的角，那么cos??2?5
1
解析：α是第四象限的角且cosα＝，
5
26
∴sinα＝－1－cos2α＝－，
5
π26α＋?＝－sinα＝于是cos?. ?2?5
26答案： 5
nπ
8．已知函数f(x)＝sin(n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)的值为__________．
3nπ
解析：由函数f(n)＝sin(n∈N*)的周期为6
3可知f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0 又2014＝6×335＋4 ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝答案：
3 2
3. 2
7
9．若sinα＋cosα＝(0＜α＜π)，则tanα＝__________.
13
7
解析：由sinα＋cosα＝(0＜α＜π)①
137?2120
得2sinαcosα＝?－1＝－＜0， ?13?169π
∴＜α＜π，即sinα＞0，cosα＜0. 2
12017
∴sinα－cosα＝1－2sinαcosα＝ 1＋＝，②
16913
12512
由①②解得sinα＝，cosα＝－，∴tanα＝－.
13135
12
答案：－ 5
三、解答题
π5
10．已知0＜α＜，若cosα－sinα＝－，求：
25
2sinαcosα－cosα＋1
的值．
1－tanα
51
解析：∵cosα－sinα＝－，∴1－2sinα·cosα＝，
55
4
∴2sinα·cosα＝，
5
49
∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝. 55
π3
∵0＜α＜，∴sinα＋cosα＝5，
255
与cosα－sinα＝－联立解得：
5
52
cosα＝，sinα＝5.
552sinαcosα－cosα＋1cosα?2sinαcosα－cosα＋1?
∴＝ 1－tanαcosα－sinα5?45?－5?55＋1?＝ 5－559＝－. 55
11．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝(1)sinα－cosα；
ππ
－α?＋cos3?＋α?. (2)sin3??2??2?解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝得sinα＋cosα＝2
.① 3
2?π
＜α＜π?.求下列各式的值： 2??3
2， 3
2
将①式两边平方，得1＋2sinα·cosα＝，
9
7
故2sinα·cosα＝－，
9
π
又＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0. 2∴sinα－cosα＞0.
716－?＝， (1)(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－??9?9
4
∴sinα－cosα＝.
3
ππ
－α?＋cos3?＋α?＝cos3α－sin3α (2)sin3??2??2?＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α) 47－?×?1－? ＝??3??18?22＝－.
27
12．已知sin(θ＋kπ)＝－2cos(θ＋kπ)，k∈Z.求： 4sinθ－2cosθ(1)； 5cosθ＋3sinθ12
(2)sin2θ＋cos2θ. 45解析：由已知得cos(θ＋kπ)≠0， ∴tan(θ＋kπ)＝－2，k∈Z，即tanθ＝－2. 4sinθ－2cosθ4tanθ－2(1)＝＝10. 5cosθ＋3sinθ5＋3tanθ
1222sinθ＋cosθ
512224
(2)sinθ＋cosθ＝ 2245sinθ＋cosθ122tanθ＋45＝2 tanθ＋17＝. 25
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