【高中数学】高中数学《三角函数与解三角形》期末考知识点
一、选择题
1．已知函数f（x）＝2x－1，g?x????acosx?2,x?0?（a∈R），若对任意x1∈[1，＋2?x?2a,x?0??1??3??7?U1,21,?U?,2? D??．??2??2??4?∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（） A．???,??1?? 2?B．??2?,??? ?3?C．???,【答案】C 【解析】 【分析】
对a分a=0,a＜0和a＞0讨论，a＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a的取值范围. 【详解】
当a=0时，函数f（x）＝2x
2－1
的值域为[1,+∞），函数g?x?的值域为[0,++∞），满足题意.
当a＜0时，y=x?2a(x?0)的值域为（2a,+∞）, y=acosx?2?x?0?的值域为[a+2,-a+2], 因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a, 所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）, 由题得2a＜1，即a＜
21，即a＜0. 2当a＞0时，y=x?2a(x?0)的值域为（2a,+∞）,y=acosx?2?x?0?的值域为[-a+2,a+2],
??a?2?12,?1?a?2. 当a≥时，-a+2≤2a,由题得?a?2?2a3?当0＜a＜
211时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜. 3221或1≤a≤2， 2综合得a的范围为a＜故选C. 【点睛】
本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．△ABC中，已知tanA=A．30° 【答案】D 【解析】 【分析】
11，tanB=，则∠C等于（ ）
23C．60°
D．135°
B．45°
利用三角形内角和为180o，可得：tanC?tan(??A?B)??tan(A+B)，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC中，
11?tanA?tanBtanC?tan(??A?B)??tan(A+B)=-??32??1，
111?tanAtanB1??32所以?C故选：D. 【点睛】
本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
135o.
3．如图，直三棱柱ABC?A?B?C?的侧棱长为3，AB?BC，AB?BC?3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE?BF，当三棱锥B??EBF的体积取得最大值时，则异面直线A?F与AC所成的角为（ ）
A．
? 2B．
? 3C．
? 4D．
? 6【答案】C 【解析】 【分析】
设AE?BF?a，VB??EBF?1?SVEBF?B?B，利用基本不等式，确定点 3E，F的位置，然后根据EF//AC，得到?A?FE即为异面直线A?F与AC所成的角，
再利用余弦定理求解. 【详解】
设AE?BF?a，则VB??EBFa?3?a??1?19?????a??3?a???3??，当且仅当3?288?2a?3?a，即a?3时等号成立， 23395，AF?5，A?F?AA?2?AF2?，222即当三棱锥B??EBF的体积取得最大值时，点E，F分别是棱AB，BC的中点， 方法一：连接A?E，AF，则A?E?EF?132， AC?22因为EF//AC，所以?A?FE即为异面直线A?F与AC所成的角，
81945??A?F?EF?A?E424?2， ?由余弦定理得cos?A?FE?932?A?F?EF22??222?∴?A?FE?．
4方法二：以B为坐标原点，以BC、BA、BB?分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
222
则A?0,3,0?，C?3,0,0?，A??0,3,3?，F??3?,0,0?， ?2?uuuur?3uuur?∴A?F??,?3,?3?，AC??3,?3,0?，
?2?9uuuuruuur?9uuuuruuurA?F?AC22?uruuur?所以cosA?F,AC?uuu，
92A?F?AC?322所以异面直线A?F与AC所成的角为故选：C 【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.
?． 4
4．在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知bcosC?ccosB?2b，则
a?( ) bA．23 【答案】B 【解析】 【分析】
由正弦定理及题设可知，sinBcosC?sinCcosB?2sinB，即sin(B?C)?2sinB，又
B．2
C．2
D．1
A?B?C??，可得sinA?2sinB，再由正弦定理，可得解
【详解】
bc??2R，又bcosC?ccosB?2b sinBsinC得到sinBcosC?sinCcosB?2sinB，即sin(B?C)?2sinB
由正弦定理：
在?ABC中，A?B?C??
故sin(??A)?2sinB，即sinA?2sinB
asinA??2 bsinB故选：B 【点睛】
故
本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
5．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且?ABC的面积S?25cosC，且
a?1,b?25，则c?（ ）
A．15 【答案】B 【解析】
由题意得，三角形的面积S? 所以cosC?B．17
C．19 D．21 1absinC?25cosC，所以tanC?2， 25， 5 由余弦定理得c2?a2?b2?2abcosC?17，所以c?17，故选B.
6．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足，b2?c2?a2?bc，
uuruuuur3，则b?c的取值范围是( ) AB?BC?0，a?2?3?A．?1,?
?2??33?B．??2,2??
??C．??13?,? 2?2?D．?1,?
2?3???【答案】B 【解析】 【分析】
?b2?c2?a2利用余弦定理cosA?，可得A?，由
32bcuuuruuuruuruuuurAB?BC?|AB|?|BC|cos(??B)?0，可得B为钝角，由正弦定理可得
?b?c?sinB?sin(120o?B)?3sin(B?30o)，结合B的范围，可得解
【详解】
b2?c2?a2由余弦定理有：cosA?，又b2?c2?a2?bc
2bcb2?c2?a2bc1故cosA???
2bc2bc2又A为三角形的内角，故A??3
3c3?2=b?c? 又a?o3sinBsinCsin(120?B)22uuuruuuruuruuuur又AB?BC?|AB|?|BC|cos(??B)?0
故cosB?0?B为钝角
33?b?c?sinB?sin(120o?B)?sinB?cosB?3sin(B?30o)
22QB?(90o,120o)，可得
13B?30o?(120o，150o)?sin(B?30o)?(,)
22?b?c?3sin(B?30o)?(故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
33,) 22
7．函数f?x??cos2xx????,2??的图象与函数g?x??sinx的图象的交点横坐标的和为（ ） A．
5π 3??B．2?
C．
7? 6D．?
【答案】B 【解析】 【分析】
根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】
令sinx?cos2x，有sinx?1?2sin2x，所以sinx??1或sinx?1.又x????,2??，2所以x???3??5?或x?或x?或x?，所以函数f?x??cos2x?x????,2???的图2266象与函数g?x??sinx的图象交点的横坐标的和s??【点睛】
?2?3??5????2?，故选B. 266本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
8．在?ABC中，若sinA:sinB:sinC?2:3:4，则?ABC是（ ） A．直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用正弦定理，推出a，b，c的关系，然后利用余弦定理求出cosC的值，即可得解． 【详解】
∵sinA：sinB：sinC=2：3：4
∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x，b=3x，c=4x，
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形
1a2?b2?c24x2?9x2?16x2==﹣， ∴由余弦定理：c=a+b﹣2abcosC，所以cosC=
42?2x?3x2ab∵0＜C＜π， ∴C为钝角． 故选B． 【点睛】
本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
2
2
2
?sin(x?a),x?09．已知函数f(x)??的图像关于y轴对称，则y?sinx的图像向左平移
?cos(x?b),x?0（ ）个单位，可以得到y?cos(x?a?b)的图像（ ）. A．
? 4B．
? 3C．
? 2D．?
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件确定a,b关系，再化简y?cos?x?a?b?，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】
??sin?x?a?,x?0因为函数f?x???的图像关于y轴对称，所以
??cos?x?b?,x?0??????sin???a??cos??b?，sin????a??cos???b?，即?2??2?sinb?cosa，sina?cosb，因此a?b?π?2kπ(k?Z)， 2从而y?cos?x?a?b???sinx?sin?x???,选D. 【点睛】
本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.
10．在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,a?3,c?23,bsinA?
???acos?B??,则b?( )
6??A．1 【答案】C 【解析】 【分析】
将bsinA? acos?B?【详解】
因为bsinA? acos?B?B．2
C．3 D．5 ?????结合正弦定理化简，求得B，再由余弦定理即可求得b． 6??????，展开得 6?bsinA?
3?1?acosB?asinB，由正弦定理化简得 223?1?sinAcosB?sinAsinB，整理得3sinB? cosB 22sinBsinA? 即tanB?π 3?，而三角形中0 63由余弦定理可得b2?a2?c2?2accosB ，代入 b?3?23解得b?所以选C 【点睛】 22??2?2?3?23cos?6 3 本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题． ?????11．已知函数f(x)?2sin(?x??)???0,???,???的部分图象如图所示，其中 ?2???f?0??1，|MN|?，则点M的横坐标为（ ） 52 A． 1 2B．?2 5C．?1 D．?2 3【答案】C 【解析】 【分析】 由f(0)?1求出??【详解】 ?????由函数f(x)?2sin(?x??)???0,???,???的部分图象， ?2???5?5?，由|MN|????，再根据f(x)?2可得答案. 236可得f(0)?2sin??1，???25?， 65??12??|MN|??22???????， 23?4??5?????函数f(x)?2sin?x??， ?36?5???令2sin?x?6?3得 ???2， ??3x?5????2k?,k?0得x??1. 62故选：C. 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出???3，属于中档题. 12．定义在R上的函数f?x?既是偶函数又是周期函数，若f?x?的最小正周期是π，且当x??0,A．???π?时，f?x??sinx，则2??B．?5π?f??的值为( ) ?3?C．?3 21 23 2D． 1 2【答案】B 【解析】 ?5??f分析：要求??，则必须用f?x??sinx来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化?3?到区间?0，?上，再应用其解析式求解 详解：Qf?x?的最小正周期是? ????2??5??f??3??5??????f?2??f?????? 3????3?Qf?x?是偶函数 ???????f????f??， ?3??3??5?f??3?????f??? ??3????Q当x??0，?时，f?x??sinx， ?2??5??3故选B 则f??????3??? f??? sin?32?3?点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质． 13．在?ABC中，若sinAsinB?cosA．等边三角形 【答案】B 【解析】 试题分析：因为sinAsinB?cos22C，则?ABC是（ ） 2C．不等边三角形 D．直角三角形 B．等腰三角形 1?cosCC，，所以，sinAsinB?即 222sinAsinB?1?cos[??(A?B)],cos(A?B)?1,故A=B，三角形为等腰三角形，选B。 考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。 点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。 14．若函数y?f?x?同时满足下列三个性质：①最小正周期为?；②图象关于直线 x??3对称；③在区间??????,?上单调递增，则y?f?x?的解析式可以是（ ） ?63?B．y?sin?A．y?sin?2x?????6?? ?x???? 26??C．y?cos?2x?【答案】A 【解析】 【分析】 ????6?? D．y?cos?2x?????? 3?利用性质①可排除B,利用性质②可排除C,利用性质③可排除D,通过验证选项A同时满足三个性质. 【详解】 2??4?,故排除逐一验证，由函数f?x?的最小正周期为?，而B中函数最小正周期为12B； 又cos?2????3?????????cos?0y?cos2x?x?，所以的图象不关于直线对称，???6?26?3?故排除C； 若????????????x?，则0?2x???，故函数y?cos?2x??在??,?上单调递减， 3??63?363?故排除D； 令??2?2x??6??2，得???????????x?，所以函数y?sin?2x??在??,?上单调递 6??63?63?增．由周期公式可得T?????2???,当x?时,sin(2??)?sin?1, 所以函数23362???y?sin?2x??同时满足三个性质. 6??故选A． 【点睛】 本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题. ?π?115．已知cos?????，则cos2??( ) ?2?5A． 7 25B．?7 25C． 23 25D．?23 25【答案】C 【解析】 【分析】 由已知根据三角函数的诱导公式，求得sinα，再由余弦二倍角，即可求解． 【详解】 由cos?1123?π?1?α??，得sinα?，又由cos2α?1?2sin2α?1?2??． 2552525??故选C． 【点睛】 本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 16．如图，边长为1正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至 ?BC，在旋转的过程中，记?ABP?x(x?[0,])，BP所经过的在正方形ABCD内的区 2域（阴影部分）的面积为y?f(x)，则函数f(x)的图像是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件列y?f?x?，再根据函数图象作判断. 【详解】 当x??0,当x??1???y?fx??1?tanx; 时，???42??11????,?时，y?f?x??1??1?; 2tanx?42?根据正切函数图象可知选D. 【点睛】 本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 17．已知函数f?x??sin??x???，x?R，其中??0，????≤?.若函数f?x?的最小正周期为4?，且当x?2?时，f?x?取最大值，是（ ） 3???上是减函数 A．f?x?在区间??2?，0?上是增函数 B．f?x?在区间???，??上是减函数 C．f?x?在区间?0，【答案】B 【解析】 【分析】 2??上是增函数 D．f?x?在区间?0，先根据题目所给已知条件求得f?x?的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】 由于函数f?x?的最小正周期为4π，故??2π1?1??，即f?x??sin?x???，4π2?2?ππ??2π??π??1f???sin?????1,??.所以f?x??sin?x??.由 66??3??3??22kπ?π1ππ4π2π?x??2kπ?，解得4kπ??x?4kπ?，故函数的递增区间是2262334π2π???4π2π?4kπ?,4kπ??,?，故B选项正确.所以本小题，令，则递增区间为k?0???33???33?选B. 【点睛】 本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题. 1 218．已知向量m?(1,cosθ)，n?(sin?,?2)，且m⊥n，则sin2θ+6cos2θ的值为（ ） A． B．2 C．22 D．﹣2 rrrr【答案】B 【解析】 【分析】 rr2sin?cos??6cos2?2 根据m⊥n可得tanθ，而sin2θ+6cosθ?，分子分母同除以cos2θ，22sin??cos?代入tanθ可得答案. 【详解】 rr因为向量m?(1，cosθ)，n?(sinθ，﹣2)， 所以m?n?sin??2cos? 因为m⊥n， 所以sin??2cos??0，即tanθ=2， urrrr2sin?cos??6cos2?2tan??62?2?6所以sin2θ+6cosθ????2. 222sin??cos?tan??14?1故选：B. 【点睛】 2 本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题. 19．设函数f?x??sinx?3cosx?x?R?，则下列结论中错误的是（ ） A．f?x?的一个周期为2? C．f?x?在区间?【答案】D 【解析】 【分析】 先利用两角和的正弦公式化简函数f?x?，再由奇偶性的定义判断A；由三角函数的有界性判断B；利用正弦函数的单调性判断C；将x?【详解】 B．f?x?的最大值为2 D．f?x???2?,63???上单调递减 ?????3??的一个零点为x? ?6 ?6 f?x?代入 ?????判断D. 3????f?x??sinx?3cosx ?2sin?x??， 3??f?x?周期T?2??2?,A正确； 1f?x?的最大值为2，B正确， ??2?Qx??,?63???5??,?x???,?3?26???， ???2??f?x?在?,?63??上递减，C正确； ?x?x? ?6 时，f?x?????????f????1?0， 3??2?????fx?不是??的零点，D不正确. 3?6?故选D. 【点睛】 本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三 角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题. 20．化简 sin235??sin20?12=（ ） B．?A． 1 21 2C．?1 D．1 【答案】B 【解析】 【分析】 利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论. 【详解】 1?cos70o1?1cos70o1sin20o1，故选B. 依题意，原式22?????????sin20o2sin20o2sin20o2【点睛】 本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
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