高中数学选择题的几种解法

高中数学选择题的几种解法

高中数学选择题注重双基及基本方法、逻辑思维与直觉思维能力,以及观

察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力。解答选择题的基本原则应是小题不能大做、小题需小做、繁题要简做、难题要巧做。求解选择题的方法是以直接思路肯定为主,间接思路否定为辅,即求解时除了用直接方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解。此外,还应注意选择题的特殊性,充分利用题干和选择支提供的信息,灵活、巧妙、快速求解。下面介绍解答数学选择题时常用的几种方法。 一 直接法

从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择项对照,从而作出选择的一种方法。运用此方法解题需要扎实的数学基础。

1、已知f(x)=x(sinx+1)+ax2,f(3)=5,则f(－3)=?????????????????????( )

(A)－5 (B)－1 (C)1 (D)无法确定

例1、设集合A和B都是自然数集合N，映射f:A?B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n?n，则在映射f下，象20的原象是 （ ）

?A?2 ?B?3 ?C?4 ?D?5

解：由映射概念可知2n?n?20,可得n?4.故选?C?. 例2、如果log7?log3?log2x???0，那么x?12等于（ ）

?A? ?B?3136

?C?39

?D?24解：由题干可得：log3?log2x??1?log2x?3?x?23.

?x?12?2?32?24.故选(D).

例1．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数， 则它的公差是 （ ）

（A）－2 （B）－3 （C）－4 （D）－5

?23??d???a?0?23?5d?0?2323??5解：.?6?????d?????56?a7?0?23?6d?0?d??23???5???,又d为整数,

∴d=–4.故选（C）.

从以上例题可以看出，解一元数学选择题，当得出的符合题意的结论与某选择支相符时，便可断定该选择支是正确的.

二 特例法

运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、

特殊函数等对各选择项进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时,特例取得越简单、越特殊越好。特例法包括:特殊值法、特殊函数法、特殊方程法、特殊数列法、特殊位置法、特殊点法等。 1. 特殊值法

2. 例7、a?b?1,P?lga?lgb,Q?12?lga?lgb?,R?a?b??lg??2??，则 （ ）

?A?R?P?Q ?B?P

P??Q?R ?C?Q?P?R ?D?P?R?Q

a?b?1,解：

3由不妨

32取

a?100,b?10，则

2,Q??100?10?,R?lg???lg22??100?10?.故选?B?.

注：本题也可尝试利用基本不等式进行变换.

2 例如：（07全国2）设F为抛物线y?4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若

????????????????????????FA?FB?FC?0，则FA?FB?FC?（ ）

A．9

B．6

C．4

D．3

????????????发现有A、B、C三个动点，只有一个FA?FB?FC?0条件，显然无法确定A、B、

C的位置，可令C为原点，此时可求A、B的坐标，得出答案B。 抓住题目叙述的关键点，往往能够排除很多选项，达到出奇制胜的效果。

例如：（07浙江）设

2?x≥1，?x，g(x)f(x)??x?1，??x，是二次函数，若f(g(x))的值域是

?∞?，则g(x)的值域是（ ） ?0，?1???1，?∞? A．??∞， C．

?1???0，?∞? B．??∞，

D．

?∞? ?0，

?∞? ?1，看到二次函数的条件，应该排除A,B选项。此题最终应选择C。 例3.直线xcosθ－y＋1=0的倾斜角的范围是 （ ）

（A）[－

?4,

?4?4] （B）[

3?4?4,

3?4]

（C）(0, )∪(

π, π) （D）?0，????3?π?，π???4??4?

解: 因为直线倾斜角的范围是?0，π?,所以,可将答案(A)淘汰;又因θ=0时,cosθ=1,满

?足条件,而答案(B)与(C)不含0,所以再淘汰答案（B）与(C).故选答案(D) 例4. 已知函数y＝

xx?1,那么（ ）

（A）当x∈（－∞，1）或x∈（1，＋∞）时，函数单调递减 （B）当x∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增

（C）当x∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减 （D）当x∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增

解: x=1时函数无意义,所以淘汰答案(C)、（D）；又因为x=2时，y=2，而x=3时，y=所以,答案(B)不对.从而选答案(A).

例6: 体积为9的三棱柱ABC-A1B1C1中，M是侧棱CC1上一点， 三棱锥M-ABC是体积2. 则三棱锥M-A1B1C1的体积为 A、3 B、1 C、2 D、3

232.

解: 将三棱柱ABC-A1B1C1看成正三棱柱,底面面积为1,高为9, 则M C=6, MC1=3. 从而,三棱锥S-A1B1C1的体积为

13?1?3?1.故选答案(B).

.3、图象法

通过画图象作出判断的方法称为图象法. 利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用几何图形的直观几性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法。 例3、方程

x100?sinx的实数解的个数为 （ ）

?C?63

?D?64

?A?61 ?B?62

解：令y?x100,y?sinx1100x，这两个方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个

1100数.由于直线y?的斜率为，又?1?sinx?1.所以仅当?100?x?100时，

两图象有交点.由函数y?sinx的周期性，把闭区间??100,100?分成

??100,2??16?1???,?2k?,2?k?1???,?2?15?,100?.(k??15,?14,?,?2,?1,0,1,2,?,14),共32个区间，在每个区间上，两图象都有两个交点，注意到原点多计一次，故实际交点有63个.即原方程有63个实数解.故选(C)

例11、方程lg?x?4??10x的根的情况是 （ ）

?A?仅有一根 ?B?有一正根一负根

?C?有两个负根 ?D?没有实数根

解：令y1?10x,y2?lg?x?4?.画草图（略）. 当x?0时，y1?10x?1,y2?lg?x?4??lg4.?y1?y2. 当x??1时，y1?10x?当x??3时，y1?10x?110,y2?lg?x?4??lg3.?y1?y2. 11000,y2?lg?x?4??lg1?0.?y1?y2.

由此可知，两曲线的两交点落在区间x???3,0?内.故选?C?.

例12、已知E???x,y?y?x2?,F??x,y?x2??y?a??1，那么使E?F?F成

2??立的充要条件是 （ ）

?A?a?54 ?B?a?54

?C?a?1 ?D?a?0