4.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且
∠EDF+∠EAF=180°,求证DE=DF. 考点: 分析:
全等三角形的判定与性质;角平分线的定义.1418944
过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,根据角平分线性质求出DN=DM,根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD,根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可.
解答: 证明:过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,
即∠EMD=∠FND=90°,
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,∴DM=DN(角平分线性质),∠DME=∠DNF=90°,
∵∠EAF+∠EDF=180°,∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°, ∵∠AFD+∠NFD=180°,∴∠MED=∠NFD, 在△EMD和△FND中
,∴△EMD≌△FND,∴DE=DF.
5.在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC.
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考点: 分析:
等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.1418944
根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,和DE∥BC,利用两直线平行,内错角相等和等量代换,求证出DB=DO,OE=EC.然后即可得出答案.
解答:
解:∵在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB, ∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB,
∵DE∥BC,∴∠DOB=∠OBC=∠DBO,∠EOC=∠OCB=∠ECO, ∴DB=DO,OE=EC,∵DE=DO+OE,∴DE=BD+EC.
6.>已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形?并说明理由.
考点: 分析:
等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质.1418944 用(HL)证明△EBD≌△FCD,从而得出∠EBD=∠FCD,即可证明△ABC是等腰三角形.
解答:
△ABC是等腰三角形.
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证明:连接AD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°,且DE=DF,
∵D是△ABC的BC边上的中点,∴BD=DC,
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL),∴∠EBD=∠FCD,∴△ABC是等腰三角形.
7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD.连接DE.
(1)∠E等于多少度?(2)△DBE是什么三角形?为什么?
考点: 分析:
等边三角形的性质;等腰三角形的判定.1418944
(1)由题意可推出∠ACB=60°,∠E=∠CDE,然后根据三角形外角的性质可知:∠ACB=∠E+∠CDE,即可推出∠E的度数; (2)根据等边三角形的性质可知,BD不但为AC边上的高,也是∠ABC的角平分线,即得:∠DBC=30°,然后再结合(1)中求得的结论,即可推出△DBE是等腰三角形.
解答:
解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,
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∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴
,
(2)∵△ABC是等边三角形,BD⊥AC,∴∠ABC=60°,∴
,
∵∠E=30°,∴∠DBC=∠E,∴△DBE是等腰三角形.
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:AB=4BD.
考点: 分析:
含30度角的直角三角形.1418944
由△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°可以推出AB=2BC,同理可得BC=2BD,则结论即可证明.
解答:
解:∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,∠B=60°. 又∵CD⊥AB,∴∠DCB=30°,∴BC=2BD.∴AB=2BC=4BD.
9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:DF=EF.
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考点: 分析:
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.1418944 过D点作DG∥AE交BC于G点,由平行线的性质得∠1=∠2,∠4=∠3,再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2,则∠B=∠1,于是有DB=DG,根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC,即可得到结论.
解答: 证明:过D点作DG∥AE交BC于G点,如图, ∴∠1=∠2,∠4=∠3,
∵AB=AC,∴∠B=∠2,∴∠B=∠1,∴DB=DG,而BD=CE,∴DG=CE, 在△DFG和△EFC中
,∴△DFG≌△EFC,∴DF=EF.
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E, 求证:BD=2CE.
考点: 分析:
全等三角形的判定与性质.1418944
延长CE,BA交于一点F,由已知条件可证得△BFE全≌△BEC,所
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