答案：52 2考点：直线与圆综合 解析：由题意可知xp?m?n， 2(m?n)2(m?n)2?4mn代入圆C1得yp??16?， ??16?44(m?n)2?4?(?8)m?n2∵mn＝﹣8，∴yp??16???8?()，
42所以点P在圆x?y?8上，其中y?0，
22求得圆心O到直线x＋y﹣1＝0的距离是2， 2252?． 22故点P到直线x＋y﹣1＝0的距离的最大值是22?二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
urrurr3xxxx若m＝(sin，cos)，n＝(cos，3cos)，设f(x)?m?n?．
22222（1）求函数f(x)在[0，π]上的单调减区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)?f(B)，a?2b，求sinB的值．
urrxxxx解：（1）∵m＝(sin，cos)，n＝(cos，3cos)，
2222urr3xxx3?sincos?3cos2? ∴f(x)?m?n? 22222 ?11?cosx3sinx?3? 22213sinx?cosx 22 ? ?sinxcos
?3?cosxsin17
?3
?sin(x??) 3 由
?2?2k??x??3?3??2k?，k?Z， 2 解得
?6?2k??x?7??2k?，k?Z， 6 又∵x?[0，π]，∴解得
??x??， 6?，π]， 6∴函数f(x)在[0，π]的单调减区间为[
（2）由（1）知f(x)?sin(x??3)，其对称轴为x??6?k?，k?Z，
当x?[0，π]，对称轴方程为x??6，
∵f(A)?f(B)，a?2b，即A?B，
∴A?B??3，sinA?2sinB，∴sin(?3?B)?2sinB
sin?3cosB?cos?3sinB?2sinB，∴
31cosB?sinB?2sinB， 22即cosB?5sinB，∵sin2B?cos2B?1，且B为锐角，sinB＞0 321． 14解得sinB?16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，A1B⊥AC1，设O为AC1与A1C的交点，点P为BC的中点．求证：
（1）OP∥平面ABB1A1； （2）平面ACC1⊥平面OCP．
18
解：（1）∵在三棱柱中，平面ACC1A1是平行四边形， ∴O为A1C的中点，又∵P为BC的中点， ∴OP∥A1B，
∵A1B?平面ABB1A1，OP?平面ABB1A1， ∴OP∥平面ABB1A1，
（2）∵平面ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC， ∴平面ACC1A1是菱形， ∴AC1⊥A1C，即AC1⊥OC， ∵A1B⊥AC1，且OP∥A1B，
∴AC1⊥OP，又AC1⊥OC，OPIOC＝O，
∴AC1⊥平面OCP， ∵AC1?平面ACC1，
∴平面ACC1⊥平面OCP．
17．（本小题满分14分）
如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的
1圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S平方米，周长为l米（周长是指图42中实线部分），圆的半径为r米．设计的理想要求是面积S尽可能大，周长l尽可能小，但显然S、l都是关于r的减函数，于是设f(r)?S，当f(r)的值越大，满意度就越高．试问r为何值时，该淋浴房底座l的满意度最高？（解答时π以3代入运算）
解：l?4?2r??r2?4?4??rr?4?， 2219
4??2r2S?1?(r?)?1?r?1?，
4442?r2r21?24?r4?所以f(r)?，r?(0,1]， r16?2r4?2r2?16r?4f?(r)?，令f?(r)?0，解得r?8?25?(0,1]
2(r?8)2r (0，8?25) ＋ 递增 8?25 0 极大值 (8?25，1) － 递减 f?(r) f(r) 故r?8?25时，f(r)取得最大值．
答：当r?8?25时，该淋浴房底座的满意度最高． 18．（本小题满分16分）
x22如图，A、B为椭圆C：2?y?1短轴的上、下顶点，P为直线l：y＝2上一动点，连接PA并延长
a交椭圆于点M，连接PB交椭圆于点N，已知直线MA，MB的斜率之积恒为?（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线MN与x轴平行，求直线MN的方程；
（3）求四边形AMBN面积的最大值，并求对应的点P的坐标．
1． 2
x2解：（1）A(0，1)，B(0，﹣1)，设M(x，y)，则y?1?2
a2 kMA?kMB(y?1)(y?1)y2?1112??????，a?2 222xxa220
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