...
2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）
理科数学
一、选择题：本大题共
12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
2
1．已知集合 A= (x, y│) x
2
y
B．2
1 ，B= (x, y│) y x ，则 A
B 中元素的个数为
D．0
A ．3 C．1
2．设复数 z满足 (1+i) z=2i，则∣ z∣=
1
A ．
2
B．
2
2
C． 2
D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至
2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在
7,8 月份
7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对
5
的展开式中
x3 y 3 的系数为
C．40
D．80
4．( x+ y )(2 x- y )
A ．-80
2
C： x
2
B．-40
2
5．已知双曲线
y
2
1
(a＞0,b＞0) 的一条渐近线方程为
5
x ,且与椭圆 2
y
a
2
2
b
x 12
y 3
1
有公共焦点，则 C 的方程为
...
...
2
A ． x
2
y 10
1
2
B． x
2
y 5
1
2
C． x
2
y 4
1
2
D． x
2
y 3
1
8 4 5 4
6．设函数 f(x)=cos(x+
3
)，则下列结论错误的是
8 对称 B．y=f(x)的图像关于直线 x= 3 D．f( x)在( , π单) 调递减
2
S的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为
A ．f(x)的一个周期为 -2 π C．f( x+π的) 一个零点为 x=
6
7．执行下面的程序框图，为使输出
A ．5 B．4 C．3 D．2
2 的同一个球的球面上，则该圆柱的
8．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 体积为
A ．π
3π B．
π C． 2
4
π D． 4
9．等差数列 为
A ．-24
an 的首项为 1，公差不为 0．若 a2，a3，a6 成等比数列，则 an 前 6 项的和
B．-3
2
C．3 D．8
2
10．已知椭圆 C： x
2
y
2
1
，（a>b>0）的左、右顶点分别为
A1，A2，且以线段 A1A2 为
a b
0 相切，则 C 的离心率为
2 C． 3
x 1
直径的圆与直线 bx ay 2ab
A．
6
3
2
3 B． 3
x 1
1 D． 3
11．已知函数 f ( x)
...
x 2x a(e e ) 有唯一零点，则 a=
...
A．
1
2
1 B．
3 1 C． 2
D．1
12．在矩形 ABCD 中，AB=1 ，AD=2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上． 若 AP =
AB + AD ，则 + 的最大值为
A．3
B．2
2
C．
5
D．2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
x y 0
13．若 x， y 满足约束条件
，则 z x y 2 0
3x 4y 的最小值为 __________．
y 0
14．设等比数列
15．设函数 f (x)
an 满足 a1 + a2 = –1, a1 –a3 = –3，则 a4 = ___________．
x 1，x 0，
则满足 f ( x)
x
2
x 0 ， ，
1
f (x ) 1 的 x 的取值范围是 _________。
2
16．a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，
b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 AB 与 a 成 60°角时， AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时， AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°；
其中正确的是 ________。（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
每个试题考生都必须作答。第 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+ （1）求 c；
（2）设 D 为 BC 边上一点， 且 AD 18．（12 分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶
4 元，售价每瓶 6 元，
AC,求△ABD 的面积．
17~21 题为必考题，
22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
3 cosA =0，a=2 7 ,b=2．
未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2 元的价格当天全部处理完． 根据往年销售经验， 每天需求
...
...
量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最
20，需求量为 200 瓶．为
得下面的频数分布表：
[35，40）
4
高气温位于区间 [20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于
了确定六月份的订购计划， 统计了前三年六月份各天的最高气温数据， 最高气温
天数
[10，15）
2
[15，20）
16
[20，25）
36
[25，30）
25
[30，35）
7
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量
X（单位：瓶）的分布列；
Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为
进货量 n（单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？ 19．（12 分）
如图，四面体 ABCD 中， △ABC 是正三角形， △ACD 是直角三角形，∠ ABD =∠CBD， AB=BD．
（1）证明：平面 ACD ⊥平面 ABC；
（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， 求二面角 D–AE–C 的余弦值． 20．（12 分）
2=2 x，过点（ 2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直
已知抛物线 C： y 径的圆．
（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；
（2）设圆 M 过点 P（4，-2），求直线 l 与圆 M 的方程． 21．（12 分）
已知函数 f (x) =x﹣1﹣aln x． （1）若 f (x) 0 ，求 a 的值；
（2）设 m 为整数，且对于任意正整数
1 1 1
n，(1+ )(1 + ) (1+ ) ﹤m，求 m 的最小
2
n
2
...
2 2
...
值．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。
22． [选修4- 4：坐标系与参数方程 ]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，直线l1 的参数方程为
x 2+t ,
（t 为参数），直线l2 的参数方程
y kt,
x 2 m, 为 y m （ 为参数） ．设l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C． k
,
m
（1）写出 C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)- M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径． 23． [选修4- 5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f（x）=│x +1│– │x– 2│． （1）求不等式 f（x） ≥ 1的解集；
2
（2）若不等式 f（x） ≥x
–x +m 的解集非空，求 m 的取值范围．
...
2 =0，
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