3.7 解三角形应用举例
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一、选择题
1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 答案 D
解析 由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.故选D.
2．(2017·武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝( )
106A．103 n mile B. n mile
3C．52 n mile D．56 n mile 答案 D
解析 由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得＝
，所以BC＝56.故选D. sin60°
3．(2018·宜宾模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．102 海里 B．103 海里 C．203 海里 D．202 海里 答案 A
解析 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理，得
10sin45°
BC
＝，
sin30°sin45°
解得BC＝102(海里)．故选A.
4．(2017·黄梅期中)如图，一栋建筑物AB的高为(30－103) m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的地面上点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为( )
BCAB
A．30 m B．60 m C．303 m D．403 m 答案 B
解析 设AE⊥CD，垂足为E，则
在△AMC中，AM＝＝206，∠AMC＝105°，∠ACM＝30°，
sin15°∴
206＝，
sin105°sin30°
ABAC∴AC＝60＋203， ∴CE＝30＋103，
∴CD＝30－103＋30＋103＝60，故选B.
5．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/hB．62 km/h C．234 km/h D．10 km/h 答案 B
解析 设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sinθ＝
0.634
＝，从而cosθ＝，∵客船从码头A到B所用的最短时间为6 min， 155
∴客船实际航行速度为1÷
1
＝10 km/h. 10
在△ABE中，由余弦定理设：
AE2＝AB2＋EB2－2AB·EB·cosθ，
4222
即v＝10＋2－2×10×2×＝72，
5解得v＝62(km/h)．故选B.
6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 答案 A
解析 设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，
2222BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)＝h＋100－2·h·100·cos60°，即h＋50h－5000＝0，
即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m．故选A.
7．(2017·临沂质检)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°，则塔高为( )
A.C.
4004003 m B. m 33200 3200
m D. m 33
答案 A
解析 如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，
400∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又AB＝200，∴AC＝3.
3在△ACD中，由正弦定理，得A.
8.(2017·广州调研)如图所示长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于( )
DCAC·sin30°400
＝，即DC＝＝(m)．故选
sin120°sin30°sin120°3
AC
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